Nullstellen des komplexen Polynoms bestimmen

Question

Ich soll die alle weiteren Nullstellen des Polynoms

$${ z }^{ 4 }-(4+2i){ z }^{ 3 }+(9+8i){ z }^{ 2 }-(14+14i)z+12+6i$$

Gegeben sind die Nullstellen

z₁=3i und z₂=2+i

Wie gehe ich hierbei vor?

Answer 1

$${ z }^{ 4 }-(4+2i){ z }^{ 3 }+(9+8i){ z }^{ 2 }-(14+14i)z+12+6i=\\(z-3i)(z-(2+i))(Az^2+Bz+C)\\\text{Bestimme A,B,C durch Koeffizientenvergleich. Löse die Gleichung }\\Az^2+Bz+C=0 \text{ durch quadratische Ergänzung oder mit der pq-Formel}$$

Answer 2

Durch das Produkt der gegebenen Linearfaktoren dividieren, das wäre
(z  - 3i )(x - 2 - i )  da bekomme ich

z² + ( -2 + 2i)z - 2i   = 0

z = 1-i ±  √ ((1-i)² + 2i )

= 1-i ±  √ ((1-i)² + 2i )

= 1-i ±  0

also nur noch eine weitere Nullstelle  1-i.

Comments

Erstmal vielen Dank!Kann ich die Division durch (z-3i)(z-2-i) mit der Polynomdiviison machen?

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Klar, musst aber erst die Klammern auflösen.

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Okay irgendwie bekomme ich das mit der polynomdivision nicht so richtig hin.

$$\quad ({ z }^{ 4 }-(4+2i){ z }^{ 3 }+(9+8i){ z }^{ 2 }-(14+14i)z+12+6i):({ z }^{ 2 }-5z-iz+6+3i)={ z }^{ 2 }+(1-i)z+9+i\\ -({ z }^{ 4 }-(5+i){ z }^{ 3 }+(6+3i){ z }^{ 2 })\\ \quad \quad \quad \quad (1-i){ z }^{ 3 }+(3+5i){ z }^{ 2 }-(14+14i)z\\ \quad \quad \quad -((1-i){ z }^{ 3 }-(6-4i){ z }^{ 2 }+(9-3i)z\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (9+i){ z }^{ 2 }-(23+11i)z+12+6i\\ \qquad \qquad \qquad -((9+i){ z }^{ 2 }-(44+14i)z+51+33i)\\ \quad \quad \quad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (21+3i)z-39-27i\\$$

Bekomme am ende sogar nen rest raus. wo ist mein fehler?