Beweise für die Fibonacci-Folge

Question

Aufgabe:

$c_{0}:=c_{1}:=1, \quad c_{n+1}:=c_{n}+c_{n-1} \text { für } n \in \mathbb{N} \text {. }$

Wir setzen $x_{n}:=\frac{c_{n+1}}{c_{n}} \quad\left(n \in \mathbb{N}_{0}\right)$. Zeigen Sie:

(a) $x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$.

(b) Mit $g=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ gilt:
$\left|x_{n}-g\right| \leq \frac{1}{g^{n+1}} \quad$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$, und $x_{n} \rightarrow g$ für $n \rightarrow \infty$.
Hinweis: Induktion! Beachte dabei: $g=1+\frac{1}{g}$.

(c) Die Potenzreihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ hat den Konvergenzradius $R=\frac{1}{g}$.

(d) Für $z \in \mathbb{C}$ mit $|z|<\frac{1}{g}$ gilt
$\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}=\frac{1}{1-z-z^{2}} .$

Hinweis: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $1-z-z^{2}$ und fassen Sie gleiche Potenzen von $z$ zusammen.

Problem/Ansatz:

Blicke bei so rekursiven sachen gar nicht durch.

Wenn mir jemand da durch helfen könnte wäre ich Ihm sehr dankbar.

Answer 1

zu (a):  $x_{n}=\frac{c_{n+1}}{c_{n}}$

==>  $x_{n+1}=\frac{c_{n+2}}{c_{n+1}}$

Setze ein $c_{n+2}:=c_{n+1}+c_{n}$

==>   $x_{n+1}=\frac{c_{n+1}+c_{n}}{c_{n+1}} = 1 + \frac{c_{n}}{c_{n+1}}=1+\frac{1}{x_{n}}$ q.e.d.

(b) Induktionsanfang ist wohl klar.

Danach so: Wenn gilt $\left|x_{n}-g\right| \leq \frac{1}{g^{n+1}} \quad$

==> $\left|x_{n+1}-g\right| = \left|1+\frac{1}{x_{n}}-g\right|$  wegen a)

 $= \left|1+\frac{1}{x_{n}}-g\right|$  Tipp verwenden !

$= \left|1+\frac{1}{x_{n}}-(1+\frac{1}{g} ) \right|$

$= \left|\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{g} \right|$

$= \left|\frac{g-x_n}{x_{n}\cdot g} \right| \le \frac{1}{g^{n+1}}\cdot \frac{1}{x_{n}\cdot g}$

und wegen ( s. Teil a)  x_n>1 ist 1/x_n < 1, also alles $\le \frac{1}{g^{n+2}}$

Comments

Das war schon sehr hilfreich, vielen dank, jedoch komme ich bei der Induktion trotzdem nicht weiter. Normalerweise müsste ich es ja weiter umformen, bis ich die IV einsetzen kann, oder? Ich weiß nicht, wie ich da weiter umformen soll.

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Hab noch was ergänzt.

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Vielen Dank :)