Ist Xn ein erwartungstreuer Schätzer?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Zufallsstichprobe \( X_{1}, \ldots X_{n} \). Wir interssieren uns für den Erwartungswert der zugrundeliegenden Verteilung, also \( E(X)\left(=E\left(X_{1}\right)=E\left(X_{2}\right)=\cdots=E\left(X_{n}\right)\right) \). Gegeben seien zwei Schätzfunktionen für \( E(X) \) :

\( \bar{X}_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \)

Ist Xn erwartungstreu?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz/Versuch: X¯n =Pni=1Xi => (X1+ ... +Xn)=> E(X¯)= (E(X1)+ ...+ E(Xn) => ( θ* θ*...* θ) => (n* θ) =  nθ, d.h. ist X¯ nicht erwarungstreu. Für E(X)(= E(X1) = E(X2) = · · · = E(Xn)) = θ. Ist das richtig oder quatsch?

Comments

Erstmal: welche Verteilung liegt den da zu Grunde?

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Eine diskrete Verteilung.

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Das ist doch keine konkrete Verteilung? Binomialverteilung, Bernoulli Verteilung... Oder eine konkrete wahrscheinlichkeitsfunktion, die gegeben ist?

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In der Aufgabe davor ist das gegeben:

Text erkannt:

Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable \( X \), die mit 50\%iger Wahrscheinlichkeit den Wert 1 annimmt, und mit jeweils \( 25 \% \) iger Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 2 .

Answer 1

Unter der Angabe aus der Aufgabe davor, ist \(X\sim \mathrm{Bin}(2;0,5)\). Es ist also \(E[X]=1\).

Folglich ist aber, wie hier schon richtig erkannt wurde, \(E[\sum X_i]=\sum E[X_i]= nE[X_1]=n\neq 1\). Diese Rechnung gilt aber auch unabhängig von der Verteilung.

Außerdem ist bekannt, dass \(\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum X_i\) erwartungstreu ist. Der Faktor \(\frac{1}{n}\) ist also nötig.