graph(f) ist eine abgeschlossene Teilmenge von X x Y

Question

Aufgabe:

Sei \( f: X \longrightarrow Y \) eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Dann heißt die Menge
\(\operatorname{graph}(f):=\{(x, f(x)) \mid x \in X\}\) der Graph von \( f \)

Sei nun \( f: X \longrightarrow Y \) eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen. Zeigen Sie:

Die Menge \( \operatorname{graph}(f) \subset X \times Y \) ist abgeschlossen. \( (X \times Y \) sei dabei mit der Produktmetrik versehen).

Mein Beweis:

\(f\) ist nach Voraussetzung stetig, also insbesondere folgenstetig.

Heißt, es existieren Folgen \( \left(x_{n}\right) \subseteq X \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} \) und \( f\left(x_{n}\right) \subseteq Y \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right) \)

Für die Produktmetrik auf \( X\) x \(Y\) gill: \( \sqrt{d(x, f(x))^{2}}=d(x, f(x)) \quad \forall x \in X \), also Standardmetrik.


Wenn wir nun also zeigen wollen, das \(\operatorname{graph}(f) \subseteq X \times Y \) abgeschlossen ist, ist dies äquivalent zu der Aussage nach Satz \( 2.13 \):

\( \overline{\operatorname{graph}(f)}=\operatorname{graph}(f) \Leftrightarrow \exists\left(x_{n}\right) \subseteq \operatorname{graph}(f) \operatorname{mit} x_{n} \in \operatorname{graph}(f) \) und \( x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).

Sei also \( \left(x_{n}\right) \) eine Folge in \(\operatorname{graph}(f) \) mit \( x_{n} \in \operatorname{graph}(f) \).

\(\left\{\left(x_{n}, f \left(x_{n}\right)\right): x_{n} \in X\right\}\)
Da \( X \) und \(Y\) metrische Räume unter einer folgenstetigen Abbildung sind, und \(\left(x_{n}\right) \rightarrow \left(x_{0}\right)\) sowie \(f\left(x_{n}\right) \rightarrow f\left(x_{0}\right)\), gilt:


\( \left\{\left(x_{n}, f\left(x_{n}\right)\right): x_{n} \in X\right\} \Rightarrow\left\{\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right): x_{0} \in X\right\}\right. \)


Also haben wir gezeigt, das eine Folge in \(\operatorname{graph}(f)\) existiert mit Grenzwert ebenfalls in \(\operatorname{graph}(f)\).

Also: \( \quad \overline{\operatorname{graph}(f)}=\operatorname{graph}(f)\)

Vielleicht könnt ihr mal reinschauen, wo mögliche Fehler sind, brauche noch ein Paar Punkte in Analysis um zur Prüfung zugelassen zu werden  ich danke euch für jede Hilfe!

Answer 1

Wenn Du schreibst "heißt, es existieren Folgen..", dann ist das falsch. Das muss für alle Folgen gehen.

Du hast noch nicht verstanden, was die Produktmetrik ist. Jedenfalls mach d(x,f(x)) keinen Sinn, weil x aus X ist und f(x) aus Y.

Der Beweis könnte so geführt werden:

Sei \(((x_n,y_n))\) eine Folge in G(f) mit \((x_n,y_n) \to (u,v)\). Zu zeigen ist: \((u,v) \in G(f)\)

1. \((x_n,y_n) \to (u,v)\) bedeutet - dazu musst Du nachschauen, wie Ihr Produktmetrik definiert habt -: \(x_n \to u\) und \(y_n \to v\)

2. \((x_n,y_n) \in G(f)\) bedeutet \(y_n=f(x_n)\)

3. Wegen der Stetigkeit von f gilt:

$$x_n \to u \Rightarrow y_n=f(x_n) \to f(u)$$

4. \(y_n \to v\) und \(y_n \to f(u)\) bedeutet: \(v=f(u)\), also \((u,v) \in G(f)\)