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Aufgabe:

f(x)=(4β1)x2+x2βx3x=ax+bx1+cx+1\displaystyle f(x)=\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1} für alle xDf x \in D_{f} .

Funktion umstellen und ganze Zahlen a, b und c bestimmen. (Für Beta kann eine Zahl zwischen 1 - 9 verwendet werden)


Problem/Ansatz:

Leider habe ich diesbezüglich keinen Ansatz.

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(4β1)x2+x2βx3x=ax+bx1+cx+1\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1}

(4β1)x2+x2βx3x=a(x21)+b(x2+x)+c(x2x)x3x\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a*(x^2-1)+b*(x^2+x)+c*(x^2-x)}{x^3-x}

(4β1)x2+x2βx3x=ax2a+bx2+bx+cx2cxx3x\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a*x^2-a+bx^2+bx+c*x^2-cx}{x^3-x}

(4β1)x2+x2βx3x=x2(a+b+c)+x(bc)ax3x\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{x^2*(a+b+c)+x(b-c)-a}{x^3-x}

Koeffizientenvergleich:

1.) a+b+c=4β1a+b+c=4β-1

2.) bc=1b-c=1

3.) a=2βa=2β

Löse nun das Gleichungssystem ( nach Kontrolle meiner Ausführungen)

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Dankeschön :)

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x3-x= x(x2-1) = x(x+1)(x-1)

Bilde rechts den Hauptnenner, dann Summandenvergleich

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tut mir wirklich leid, aber könnten Sie das einmal schritt für schritt vorrechnen ...?

Für beta verwende ich z:

(4z-1)*x2 = a(x2-1)

x= b*x*(x+1)

2z = c*x*(x-1)

Wenn ich treffenderweise "Unsinn" schreiben würde, glaubst du wohl wieder, mit einer Beleidigungs-Markierung reagieren zu müssen. Welches andere Wort fällt dir ein ?

@af 1998:

Beachte den Kommentar von hj2166 nicht.

Er gilt als oft nutzloser Klimavergifter.

Dass der Kommentar dir nicht weiterhilft, siehst du selbst.

Dieser Mensch tickt nicht richtig und motzt meist nur rum.

@af 1998:

Stelle dem ggT doch mal folgende ganz einfache Frage :

"Für x=1 folgt aus deiner ersten Gleichung 4z=1, aus deiner dritten Gleichung aber z=0 ;  wie erklärst du, dass aus deinen Gleichungen ein solcher Unsinn folgt ?"

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((4·β - 1)·x2 + x - 2·β)/(x3 - x) = a/x + b/(x - 1) + c/(x + 1)

Mit (x3 - x) = x·(x + 1)·(x - 1) multiplizieren

(4·β - 1)·x2 + x - 2·β = a·(x - 1)·(x + 1) + b·x·(x + 1) + c·x·(x - 1)

Wir setzen mal für x = 0 ; x = -1 und x = 1 ein

(4·β - 1)·02 + 0 - 2·β = a·(0 - 1)·(0 + 1) + b·0·(0 + 1) + c·0·(0 - 1) --> a = 2·β

(4·β - 1)·(-1)2 + (-1) - 2·β = a·((-1) - 1)·((-1) + 1) + b·(-1)·((-1) + 1) + c·(-1)·((-1) - 1) --> c = β - 1

(4·β - 1)·12 + 1 - 2·β = a·(1 - 1)·(1 + 1) + b·1·(1 + 1) + c·1·(1 - 1) --> b = β

Damit gilt also:

((4·β - 1)·x2 + x - 2·β)/(x3 - x) = 2·β/x + β/(x - 1) + (β - 1)/(x + 1)

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a=limx0(xf(x))=(4β1)x2+x2β(x+1)(x1)x=0=2βa=\lim_{x\to 0}(xf(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{(x+1)(x-1)}\right|_{x=0} =2\beta

b=limx1((x1)f(x))=(4β1)x2+x2βx(x+1)x=1=βb=\lim_{x\to 1}((x-1)f(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x(x+1)}\right|_{x=1} =\beta

c=limx1((x+1)f(x))=(4β1)x2+x2βx(x1)x=1=β1c=\lim_{x\to -1}((x+1)f(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x(x-1)}\right|_{x=-1} =\beta -1


Jetzt kannst du wieder eine deiner Wunschzahlen für β\beta einsetzen.

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