z.B. (i) Betrachte \( \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \frac{ \frac{1}{(2n)!} }{ \frac{1}{(2n+2)!} } = \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1) \)
Das hat für n gegen unendlich den Grenzwert +∞. Also konvergiert die Reihe auf ganz ℝ.
Bei (ii) etwa so:
\( \frac{\frac{1}{2^{n}(2 n-1)}}{\frac{1}{2^{n+1}(2 n+1)}} = \frac{{2^{n+1}(2 n+1)}}{{2^{n}(2 n-1)}} = \frac{{2(2 n+1)}}{{(2 n-1)}} = \frac{{4 n+2}}{{2 n-1}} \)
also Grenzwert 2. ==> Konv.rad=2.
Dann noch die Randpunkte untersuchen , nämlich -1 und 3 .
Bei -1 hast du \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}(2 n-1)}(-2)^{n}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n-1}\).
Konvergiert nach Leibniz.
Bei 3 hast du \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}(2 n-1)}2^{n}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\).
Angenommen das konvergiert auch, dann hättest du
\( =2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-0,5}\)
Nun ist aber für alle n \( \frac{1}{n-0,5} \gt \frac{1}{n} \)
Somit ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante.
Für 3 konvergiert deine Reihe also nicht.
