Bestimmen Sie die Menge der z ∈ ℂ , für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren.

Question

Bestimmen Sie die Menge der $z \in \mathbb{C}$, für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren. In (d) reicht es, den Konvergenzradius der Potenzreihe zu berechnen.
(a) $\sum \limits_{n \geq 0} \frac{3^{n} \sqrt{n}}{\sqrt{n^{7}+1}} z^{n}$,
(b) $\sum \limits_{n \geq 0}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n+1}\right)^{n} z^{2 n}$,
(c) $\sum \limits_{n \geq 0} 2^{-n} 3^{(-1)^{n} n} z^{3 n}$,
(d) $\sum \limits_{n \geq 0}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}(n+1)} z^{\left(n^{2}\right)}$.

Mir fehlt der Ansatz komplett da das Vorlesungsvideo kompletter Trash ist habe mir auch das Skript & Literatur angeschaut und diverse Mathe-Youtuber aber iwie funzt das alles nicht wäre sehr froh um mind. eine Lösung wo ich mir den Rest dann selber herleiten kann :)

Vielen Dank im vorauss!!

Answer 1

Zur Bestimmung des Konvergenzradius gibt es Methoden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konver…

Bei a) vielleicht das Quotientenkriterium

$\frac{a_n}{ a_{n+1}} = \frac{ \frac{3^{n} \sqrt{n}}{\sqrt{n^{7}+1}} }{\frac{3^{n+1} \sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^{7}+1}} }$

$= \frac{3^{n} \sqrt{n}\sqrt{(n+1)^{7}+1}}{3^{n+1} \sqrt{n+1}\sqrt{n^{7}+1}}$

Das hat den Grenzwert 1/3, also ist das der Kovergenzradius.

Dann noch die Randwerte prüfen.