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Aufgabe:

Die beiden Kurven p : y = ax^2 und q : y =\( \frac{1}{4} \)\( x^{2} \)+b
schneiden einander im Punkt S(4|6).
Die beiden Kurven begrenzen ein endliches Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um
die y−Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!


Problem/Ansatz:

Ich habe schon a und b (0.375 und 2) gefunden, aber wie soll man das Volumen zwischen diese zwei Funktionen finden?

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Hallo,

die Formel für das Rotationsvolumen bei Körpern, die sich um die x-Achse drehen, lautet

\( V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f^{-1}(y))^{2} d y \)

Bestimme den zweiten Schnittpunkt der beiden Funktionen. Bilde dann die Differenzfunktion von p und q, davon die Umkehrfunktion und setze in die Formel ein:

\(V=\pi \cdot \int \limits_{0}^{6}\bigg(\frac{1}{8}x^2-2\bigg)^{2}\; d x\)

Gruß, Silvia

wie soll man das Volumen zwischen diese zwei Funktionen finden?

Du sollst nicht das Volumen zwischen den Funktionen finden, sondern diese Fläche rotieren und dann das Volumen des Rotationskörpers finden:


blob.png

Ich komme auf V = 16 pi

Verflixt, ich habe mal wieder nicht richtig hingeschaut.

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Die Konstanten \(a\) und \(b\) hast du korrekt bestimmt.

~plot~ 3/8*x^2 ; 1/4*x^2+2 ; [[-5|5|0|8]] ; {4|6} ; {-4|6} ~plot~

Wir bestimmen die Rotationsvolumina von \(\blue{y_1(x)=\frac38x^2}\) und \(\red{y_2(x)=\frac14x^2+2}\).

Bei der Rotation einer der beiden Funktion \(y(x)\) um die \(y\)-Achse im Intervall \(x\in[0;4]\) entsteht auf der "Höhe" \(y(x)\in[0;6]\) ein Kreis mit Radius \(r=x\). Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi r^2=\pi x^2\). Diese Kreise summieren sich zum gesamten Rotationsvolumen.

Das Rotationsvolumen der blauen Kurve ist daher:$$\blue{V_1}=\int\limits_{y(0)}^{y(4)}\pi\blue{x^2}\,dy=\pi\int\limits_0^6\blue{\frac83y}\,dy=\pi\left[\frac43y^2\right]_0^6=\pi\,\frac43\cdot36=48\pi$$

Das Rotationsvolumen der roten Kurve folgt analog:$$\red{V_2}=\int\limits_{y(0)}^{y^(4)}\pi\red{x^2}\,dy=\pi\int\limits_2^6\red{4\left(y-2\right)}dy=4\pi\left[\frac{y^2}{2}-2y\right]_2^6=4\pi\cdot(6-(-2))=32\pi$$

Wir müssen das rote Volumen aus dem blauen Volumen herausnehmen:$$V=V_1-V_2=16\pi$$

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Das "Beste" an der Antwort ist, dass sie den Fragesteller zum kritischen Mitdenken veranlasst.

Wenn das unser Freund ggT liest, bekommt er wieder Schnappatmung.

Für die dritte Auflage - und damit der Fragesteller auch wirklich nicht mehr mitzudenken braucht

Unbenannt.JPG

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V = ∫ (0 bis 6) (pi·(2/3·√(6·y))^2) dy - ∫ (2 bis 6) (pi·(2·√(y - 2))^2) dy = 16·pi

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