Zeigen Sie, dass die uneigentlichen Integrale existieren und werten Sie sie aus.

Question

Zeigen Sie, dass die uneigentlichen Integrale

$\int \limits_{0}^{1}\frac{arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}dt$ :=  $\lim\limits_{δ\downarrow0} \int \limits_{0}^{1-δ}\frac{arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}dt$

und

$\int \limits_1{}^{\infty}\frac{log t}{t^2}dt := \lim\limits_{R\to\infty}\int \limits_{1}^{R}\frac{log t}{t^2}dt$

existieren und werten Sie sie aus.


[Hinweis: Verwenden Sie die Substitutionen t = sin x bzw. t = $e^u$.]

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich bin da leider überfordert.

Answer 1

Willkommen hier:

gehe davon aus , das mit log t= ln t gemeint ist (im Hochschulbereich)

Unter Beachtung des Hinweises :

Answer 2

Hallo

a) hast du wie angegeben substituiert? kannst du dannn die Stammfunktion bestimmen?, dann setze die Grenzen ein und bilde den GW.

Schlimmstenfalls benutze integralrechner.de

Gruß lul

Comments

Vielleicht weiß Fad nur nicht, dass der Term $\sqrt{1-t^2}$ mit t=sinx(x) im angegebenen Intervall einfach nur cos(x) ergibt?

Answer 3

Aloha :)

zu a) Hier brauchst du fast nichts zu rechnen. Definiere dir eine Funktion$$f(t)\coloneqq\arcsin(t)\quad\text{mit}\quad f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$Dann siehst du sofort, dass es sich um ein Standardintegral handelt$$\int f'(t)\cdot f(t)\,dt=\frac{f^2(t)}{2}+\text{const}$$und kannst das Ergebnis sofort hinschreiben:$$\int\limits_0^1\frac{\arcsin(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt=\left[\frac12\arcsin^2(t)\right]_0^1=\frac12\left(\left(\frac\pi2\right)^2-0^2\right)=\frac{\pi^2}{8}$$

zu b) Hier würde ich partiell integrieren:$$\int\frac{\ln(t)}{t^2}\,dt=\int\underbrace{\frac{1}{t^2}}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(t)}_{=v}\,dt=\underbrace{\left(-\frac1t\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(t)}_{=v}-\int\underbrace{\left(-\frac1t\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1t}_{=v'}\,dt$$$$\phantom{\int\frac{\ln(t)}{t^2}\,dt}=-\frac{\ln(t)}{t}+\int\frac{1}{t^2}\,dt=-\frac{\ln(t)}{t}-\frac1t+\text{const}=-\frac{\ln(t)+1}{t}+\text{const}$$In den angegeben Grenzen gilt daher:$$\int\limits_1^\infty\frac{\ln(t)}{t^2}\,dt=-\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\ln(t)+1}{t}+\frac{\ln(1)+1}{1}=-0+1=1$$