Logarithmus umformen gleichheit

Question

Eine Kleinigkeit, ist mir noch offen geblieben. Und zwar, wie kommt man hier auf die Lösung x?

$$ 10^{\log_{10}{(x)}} $$ soll man auf = x kommen. Wie genau soll das gehen?

Ich weiß ja, dass man mit $$ \log_{10}{1000} = 3 auf 10^3 = 1000 kommt.

Aber obiges kann ich nicht so einfach umformen. Ich könnte mir das vielleicht nur dadurch erklären, dass die Basis von beiden (also Basis vom Log. und die Basis wo im Exponenten der Log. steht) gleich sein müssen

Answer 1

Aloha :)

Der Logarithmus \(\pink{\log_{10}(a)}\) ist definiert als die Lösung der Gleichung \(\pink{a=10^x}\).

Wenn du diese Lösung für \(x\) einsetzt, steht da:\(\quad \pink{a=10^{\log_{10}(a)}}\)

Ein sehr nützliches, aber leider auch eher unbekanntes, Logarithmengesetz lautet:$$\green{a^{\log(b)}=b^{\log(a)}}$$

Damit ist dann sofort klar, dass:$$10^{\log_{10}(x)}=x^{\log_{10}(10)}=x^1=x$$

Answer 2

Das ist reine Definitionssache.

Der Logarithmus L einer (positiven) Zahl x in Bezug auf eine Basis a  (a>0 und a≠1) ist jene Zahl  L mit der Eigenschaft  a^L = x

Answer 3

Hallo,

"10 hoch" ist die Umkehrfunktion von "log_10".

Damit heben sich beide gegenseitig auf.und x bleibt übrig.

:-)