Basiswechselmatrix in Z5

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die geordnete Basis

$B:=\left(\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}\right)\right) \subset \mathbb{Z}_{5}^{2} \quad \text { und } \quad A:=\left(\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \in \mathbb{Z}_{5}^{2 \times 2} .$
Sei $C$ die Standardbasis des $\mathbb{Z}_{5}^{2}$ und $f: \mathbb{Z}_{5}^{2} \rightarrow \mathbb{Z}_{5}^{2}, f(x)=A x$. Berechnen Sie die darstellende Matrix $A_{f}^{B, C}$ von $f$ zur Eingangsbasis $B$ und Ausgangsbasis $C$.
(Vergessen Sie nicht, das Ergebnis soweit wie möglich zu vereinfachen.)

Problem/Ansatz:

bin etwas überfordert mit der oben genannten Aufgabe und komme einfach nicht aufs richtige Ergebnis.

Am meisten Probleme macht mir die Formulierung. Ist die Matrix C, einfach die Matrix A?

Sprich die Standardbasis C wird zur Abbildungsmatrix A. Also habe ich Gaus angewandt um von A nach B umzuwandeln, aber komme da nicht aufs richtige Ergebnis also weiß ich nicht ob das der richtige Weg ist.

Bin für jede Hilfe dankbar :)

Comments

Wie sieht denn die Basis C aus?

Answer 1

Für $A_{f}^{B, C}$ musst du die Bilder der Basisvektoren von B mit der

Basis C darstellen, die letztere soll ja die Standardbasis sein

$C=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)$

Also nur die Bilder berechnen:

$f(\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right)) =A \cdot \left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{l} 8+9 \\ 4+6 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \right)$

Damit hast die die erste Spalte der gesuchten Matrix. Für die 2. Spalte

entsprechend $f(\left(\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}\right))$  berechnen.