Wie berechne ich die Determinante von M?

Question

AUFGABE:

\( M:=\left(\begin{array}{ccccc} \tilde{0} & \tilde{2} & \tilde{0} & \tilde{1} & \tilde{0} \\ \tilde{1} & \tilde{3} & \tilde{0} & \tilde{3} & \tilde{2} \\ \tilde{2} & \tilde{2} & \tilde{0} & \tilde{1} & \tilde{4} \\ \tilde{0} & \tilde{0} & \tilde{4} & \tilde{0} & \tilde{0} \\ \tilde{4} & \tilde{0} & \tilde{0} & \tilde{4} & \tilde{1} \end{array}\right) \in(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z})^{5 \times 5} \)

Wie berechne ich die Determinante von \( M \) ?

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich weiß ich wie man Determinanten berechnet aber da es mit Modulo (und Schlange) ist, komme ich bei der Berechnung durcheinander.

Kann einer diese aufgabe ausführlich berechnen?

Grüße

xxlöwenzahnxx

Answer 1

Hallo,

berechne die Determinante wie gewohnt und bilde dann den Rest bei der Division durch 5.

\( \left|\begin{array}{lllll}0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 & 1\end{array}\right| =168\equiv 3 \mod 5\)

Ausführlich:

Faktoren herausziehen, nach einer Spalte entwickeln, Zeilen subtrahieren.

\( \left|\begin{array}{lllll}0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 & 1\end{array}\right| \\ = (-4)\cdot\left|\begin{array}{llll}0 & 2  & 1 & 0 \\ 1 & 3  & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 0& 4 & 1\end{array}\right|\\ =(-4) \cdot\left|\begin{array}{llll}0 & 2  & 1 & 0 \\ 1 & 1  & 2 & 2 \\ 2 & 0& 0 & 4 \\ 4 & 0& 4 & 1\end{array}\right|\\ =(-4) \cdot2\cdot\left|\begin{array}{llll}0 & 2  & 1 & 0 \\ 1 & 1  & 2 & 2 \\ 1 & 0& 0 & 2\\ 4 & 0& 4 & 1\end{array}\right|\\ =(-4) \cdot2\cdot\left|\begin{array}{llll}0 & 2  & 1 & 0 \\ 0 & 1  & 2 & 0\\ 1 & 0& 0 & 2\\ 0 & 0& 4 & -7\end{array}\right| \\ =(-4) \cdot2\cdot\left|\begin{array}{lll} 2  & 1 & 0 \\ 1  & 2 & 0\\ 0& 4 & -7\end{array}\right|                                  \\=(-4)\cdot 2\cdot(-21)=168 \equiv 3 \mod 5\)

bzw.

\((-4)\cdot 2\cdot(-21)\equiv 1\cdot2\cdot4\equiv8\equiv3\mod5\)

PS:

Du kannst auch statt 4 immer -1 und statt 3 eine -2 schreiben und dadurch evtl. einfachere Umformungen erreichen.

\( \left|\begin{array}{ccccc}0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right| \)

\( =\left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right| \)

\(= \left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right| \)

\( =\left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right| \)

\( =\left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right| \)

\(= -2\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right| \)

\( =-2\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right| \)

\( =-2 \cdot2\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right| \)

 \(=8\equiv 3\mod 5\)

Comments

Hallo

wenn man weniger rechnen will kann man nach jedem Schrit, der über 4 geht mod 5 rechnen also 2*3=1mod 5  1+4=0 mod 5 usw.

Gruß lul