Mittels Transformation das folgende Integral bestimmen

Question

Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung. Ich habe die Aufgabe ausgerechnet. Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob die Rechnung so korrekt ist?

Aufgabe:

Bestimmen das Integral $\int \limits_{\mathcal{R}} x-y \mathrm{~d}(x, y)$ wobei $\mathcal{R}$ das Viereck mit den Eckpunkten $(0,0)$, $(2,-2),(4,0)$ und $(2,2)$ ist. Verwendet man die Transformation
$\Psi(u, v)=\left(\begin{array}{l} x(u, v) \\ y(u, v) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 u-3 v \\ 2 u+3 v \end{array}\right)$
entspricht $\mathcal{R}$ dem Bereich $\Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right)$ mit $\mathcal{R}^{*}=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \frac{2}{3}\right\}$.

Problem/Ansatz:

$\begin{array}{l}\text {-) } \int \limits_{R} x-y d(x, y) \\ \varphi(u, v)=\left(\begin{array}{l}x(u, v) \\ y(u, v)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 u-3 v \\ 2 u+3 v\end{array}\right) \\ \left.R^{*}=L(u, v) e \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant \frac{2}{3}\right\} \\ J \psi=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 2 & 3\end{array}\right) \\ |J \psi|=|6+6|=|12|=12 \\ I=12 \cdot \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{\frac{2}{3}}(2 u-3 v)-(2 u+3 v) d u d v= \\ I=12 \cdot \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{2 / 3}-6 v d u d v=-72 \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{\frac{2}{3}} v d u d v \\ -72 \int \limits_{0}^{1}\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{2}{3}} d u=-72\left[\frac{\frac{4}{9}}{2}\right] \cdot[u]_{0}^{1} \\ -72 \cdot\left[\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}\right][1-0]=-72\left(\frac{4}{18}\right) \\ =\frac{-288}{18}=-16 \\\end{array}$

Comments

u=0 und v=2/3 führt zu x=-2 und y=2. Dieser Punkt gehört aber nicht zum Viereck R - oder?

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Wie? Das check ich nicht ganz

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Gehört der Punkt (-2,2) zum Viereck R?

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Achso, ja :)

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Nach meiner Sicht nicht.

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Echt? Wieso nicht? Auch wenn nicht, die Rechnung an sich ändert sich ja nicht?

Answer 1

~draw~ polygon(0|0 2|-2 4|0 2|2);zoom(6) ~draw~

Das wäre doch das Viereck. Weil Deine Trafo nicht das Viereck triff, integrierst du über einen anderen Bereich, also ist das falsch

Ich würde R so beschreiben:

$$u:=y+x \in [0,4] \quad v:=y-x \in [-4,0]$$

Durch Umkehrung erhalten wir

$$u=y+x, \quad v=y-x \iff x=0.5(u-v), \quad y=0.5(u+v)$$

Also

$$R=\Psi(R^{\ast}) \text{ mit }\Psi(u,v):=0.5 \begin{pmatrix} u-v\\u+v \end{pmatrix}$$

Der Betrag der Funktionaldeterminante ist 0.5. Damit sagt der Transformationssatz:

$$\int_R(x-y)d(x,y)=\int_{R^{\ast}}(-v)0.5d(u,v)=-0.5\int_{-4}^0dv\int_0^4 du \; v\\\quad =-2\int_{-4}^0dv\; v=-[v^2]_{-4}^0=16$$

Comments

Aber wieso? Wir haben ja hier einen Bereich angegeben, dann muss ich ja über den angegebenen Bereich integrieren. Außerdem muss man ja hier substituieren.

Komme leider nicht ganz mit.

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Sind wir uns einig, dass das blaue Polygon der Bereich $\mathcal{R}$ aus der Aufgabenstellung ist?

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Ja, da sind wir uns einig.

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Sind wir uns einig, dass der Punkt(-2,2) nicht in dem Viereck liegt?

Und dass $\Psi(0,2/3)=(-2,2)$ ist?

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Dass der Punkt (-2,2) nicht im Viereck liegt, sind wir uns einige, aber, dass $\Psi(0,2/3)=(-2,2)$ da sind wir uns leider nicht einig, da ich das noch nicht nachvollziehen kann

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Wenn u=0 und v=2/3 ist, dann ist 2u-3v=0-2=-2?

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Ja, das schon, aber was hilft das uns jetzt?

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Das ist die erste Komponente von $\Psi(0,2/3)$

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Ja, schon, aber ich check' leider immer noch nicht wie ich rechnen muss.

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Ich habe meine Lösung aufgeschrieben.

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Vielen dank für die Lösung, aber ich muss ehrlich zugeben, dass ich einiges noch nicht wirklich verstanden habe. Ich will die Aufgabe wirklich checken, daher sry falls die Fragen selbsterklärend sind. Ich fange mal ganz von vorne an:

Wie bist du auf diese Umformungen gekommen?

Ich würde R so beschreiben: $$u:=y+x \in [0,4] \quad v:=y-x \in [-4,0]$$ Durch Umkehrung erhalten wir $$u=y+x, \quad v=y-x \iff x=0.5(u-v), \quad y=0.5(u+v)$$

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Die Begrenzungrn von R sind die Geraden y=x und y=-4+x. Sowie y=-x und y=4-x.

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Ich check‘s immer noch nicht, wirklich nicht. Ich komme gar nicht mehr mir, sry.

Von wo kommt u = y+x und v= y-x —> x= 0,5 (u-v)?

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u=x+y, v=y-x ist einlineares Gleichungssystem, das ich nach x und y aufgelöst habe.

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Aber woher wusstest du, dass u = x+y ist? Und wozu eigentlich das ganze? Ich erkenne noch nicht den Zusammenhang.

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Das Finden einer hilfreichen Transformation ist grundsätzlich ein kreativer Prozess.

Wie bist Du denn auf Deine gekommen?

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Warte, ich poste gleich meinen Ansatz, vielleicht finden wir wo es hapert.

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Mathhilf, bei mir kommt wieder 16 heraus. Ich check' echt nicht wie du auf -16 gekommen bist. Oben habe ich ja meine Rechnung aufgeschrieben, könnten wir die Aufgabe mit meinem Ansatz mal rechnen? Bzw. könntest du mir mal sagen, welcher Schritt oben falsch ist?

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Schreib mal die allgemeine Transformationsformel  für Integrale hier auf

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Meinst du das hier?

$\int \limits_{B} f(x, y) d(x, y)=\int \limits_{B^{*}} f(\psi(r, \varphi)) \cdot \mid \operatorname{det}(J \psi \mid d(r, \varphi)$

Hab einfach mal phi und r genommen.

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Und welcher Zusammenhang besteht zwischen B und B*?

PS Gehe jetzt schlafen

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Bei B stern haben wir substituiert ?

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Das brauchen wir genauer - formelmäßig

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Wir setzen einfach die Koordinaten des psi in die Ausgangsfunktion ein und mutliplizieren sie dann mit der Determinante. Auf die Schnelle fällt mir dazu nichts mehr ein.

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Dir soll nichts einfallen, Du sollst es nachlesen. Wenn in der Formel das linke Integral gegeben ist, dann kann B* nicht beliebig sein. Es muss einen definierten Zusammenhang zu B geben. Den brauchen wir.

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Meinst du‘s so vielleicht?

$\int \limits_{B} f(x, y) d(x, y)=\int \limits_{B^{*}} f(\psi(u, v)) \cdot|\operatorname{det} J \psi| d(u, v)$