Kern einer Matrix berechnen 2x4

Question

Aufgabe:$$B=\begin{pmatrix}1& 3& −1& 0\\0& 0&  2&  6\end{pmatrix}$$

B =  1 3 −1 0
      0 0  2  6

Problem/Ansatz:

Hallo, ich würde gerne wissen wie ich den Kern dieser Matrix berechnen kann. Da ich nach vielen versuchen das LGS mit B*v nicht gelöst bekomme. Also denke ich es kann nur der 0-Vektor sein. Wenn das richtig ist wäre nun meine Frage wie für diesen Fall dann die richtige Notation aussehen würde.

Answer 1

Teile die zweite Zeile durch 2. Addiere sie dann zur ersten Zeile. Dann hast du \(\left(\begin{smallmatrix}1&3&0&3\\0&0&1&3\end{smallmatrix}\right)\). Schau dir dann noch mal genau an, wie man aus der reduzierten Zeilenstufenform die Lösungsmenge abliest.

Comments

Könntest du mir noch sagen wie ich aus der reduzierten Zeilenstufenform die Lösungsmenge ablesen kann. Ich finde dazu nichts.

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Beispiel.

        \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \end{pmatrix}\)

Jede Spalte, in der keine neue Stufe anfängt, bekommt einen Parameter

        \(\begin{aligned} x_{6} & =p\\ x_{4} & =q\\ x_{2} & =r \end{aligned}\)

Die Variablen der restlichen Spalten werden in Abhängigkeit der Parameter dargestellt. Dazu überlegt man sich, wie die Gleichung lautet die der Zeile der jeweiligen Stufe entspricht und formt diese Gleichung um.

        \(\begin{aligned} x_{5} & =-8p\\ x_{3} & =-7p-5q\\ x_{1} & =-4p-3q-2r \end{aligned}\)

In Vektorschreibweise

        \(\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\\ x_{6} \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}-4p-3q-2r\\ r\\ -7p-5q\\ q\\ -8p\\ p \end{pmatrix}\\&=p\cdot\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ -7\\ 0\\ -8\\ 1 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\)

Damit hast du eine Basis des Kerns der Matrix.