Beweis Kepler'sche Fassregel und Volumen

Question

Aufgabe:

Bestätigen Sie rechnerisch, dass mit der auf der Kepler'schen Fassregel für Rotationskörper (Fässer) das Volumen eines Zylinders und das eines Kegels exakt bestimmt werden können.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich dies beweisen?

Answer 1

Das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h kannst du ja berechnen

als Rotationsvolumen von f(x)=r  um die x-Achse also mit

$\pi\int \limits_0^h r^2 dx = \pi[xr^2 ]_0^h = \pi \cdot h \cdot r^2$

Das Integral mit der Fassregel gibt ja allgemein

$\pi\int \limits_a^b f(x)^2 dx = \pi \cdot \frac{b-a}{6}( f^2(a) + 4f^2(\frac{a+b}{2}+f^2(b))$

Hier also mit f(x)=r

$\pi\int \limits_0^h r^2 dx = \pi \cdot \frac{h-o}{6}( r^2 + 4r^2+r^2) = \pi \cdot h \cdot r^2$

Also das gleiche Ergebnis.

Beim Kegel mit Radius r und Höhe benutze entsprechend $f(x) = \frac{r}{h} \cdot x$

und auch das Integral von 0 bis h.

Answer 2

Hallo

einfach nachrechnen. a) Kepler, b) Volumenformel oder statt b) das Rotationsintegral.

Gruß lul