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Aufgabe:

Bestätigen Sie rechnerisch, dass mit der auf der Kepler'schen Fassregel für Rotationskörper (Fässer) das Volumen eines Zylinders und das eines Kegels exakt bestimmt werden können.


Problem/Ansatz:

Wie kann ich dies beweisen?

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2 Antworten

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Beste Antwort

Das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h kannst du ja berechnen

als Rotationsvolumen von f(x)=r  um die x-Achse also mit

\(  \pi\int \limits_0^h r^2 dx = \pi[xr^2 ]_0^h  = \pi \cdot h \cdot r^2 \)

Das Integral mit der Fassregel gibt ja allgemein

\(  \pi\int \limits_a^b f(x)^2 dx = \pi \cdot \frac{b-a}{6}( f^2(a) + 4f^2(\frac{a+b}{2}+f^2(b)) \)

Hier also mit f(x)=r

\(  \pi\int \limits_0^h r^2 dx = \pi \cdot \frac{h-o}{6}( r^2 + 4r^2+r^2) = \pi \cdot h \cdot r^2  \)

Also das gleiche Ergebnis.

Beim Kegel mit Radius r und Höhe benutze entsprechend \( f(x)  =  \frac{r}{h} \cdot x \)

und auch das Integral von 0 bis h.

Avatar von 287 k 🚀
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Hallo

einfach nachrechnen. a) Kepler, b) Volumenformel oder statt b) das Rotationsintegral.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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