Kepler'sche Fassregel (Simpson-Regel)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie zum Integral
$I=\int \limits_{0}^{\pi} \sin ^{4}(x) \mathrm{d} x$
einen Näherungswert mit der zusammengesetzten Kepler'schen Fassregel, wobei der Integrand a_n genau $n=5$ Stellen ausgewertet werden soll.
Hinweis: $\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hallo zusammen, ich habe eine Frage und zwar: Was ist die Formel der zusammengesetzten Kepler'schen Fassregel für n = 5? Ich habe diese Formel aber für gerades n:

Zusammengesetzte Kepler'sche Fassregel:

$\int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\frac{h}{3}\left(f_{0}+4 f_{1}+2 f_{2}+4 f_{3}+\cdots+2 f_{n-2}+4 f_{n-1}+f_{n}\right).$ Nur für gerades $n$ möglich!

Answer 1

Lies genau, $n$ ist nur ein Variablenname, der kann auch sonstwie lauten. Es kommt nicht auf die Bezeichnung an, sondern auf die Bedeutung. Es soll an 5 Stellen ausgewertet werden, und das passiert, wenn Du in deiner Formel $n=4$ wählst. Überzeuge dich selbst davon, schreib die Formel hin.

Comments

Alles klar. Danke :)

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Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ soll im Intervall $x \in[1,2]$ durch kubische interpolierende Splines approximiert werden. Dabei seien Stützstellen $\left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right)$ mit $x_{i}=1+i h$ für $i=0,1, \ldots, n$ und $h=\frac{1}{n}$ gegeben.

a) Die Bestimmung des Splines $s$ mit natürlichen Randbedingungen führt auf ein lineares Gleichungssystem $A u=d$. Definieren Sie die Bedeutung der Unbekannten in $u$ und geben Sie im Fall $n=4$ Formeln für die rechte Seite $d$ sowie die Einträge in der Matrix $A$ an und bestimmen Sie zudem die Zahlenwerte in der Matrix $A$.

h ist 1/4 und nicht 1/3, oder? Hier steht ja nicht 4 Stellen oder so, sonder nur n=4..

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... für $i=0,1, \ldots, n$ und $h=\frac{1}{n}$ gegeben.

heißt, bei $n=4$, die Stützstellen sind an den Punkten ... $$\underbrace{x_0,\, x_1,\, x_2,\,x_3,\,x_4}_{= 5 Stellen}$$... gegeben.

Und $h=1/n = 1/4$, da das Intervall zwischen $x_0$ bis $x_1$ in 4 gleich breite Bereiche aufgeteilt wird.$$(x_0 \dots x_1)(x_1 \dots x_2)(x_2 \dots x_3)(x_3 \dots x_4)$$

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Add Natural Splines

yep, kommt dann wie

Die Matrix $A^{16 \times 16}$ geb ich lieber nicht nicht an ;-)

Du sollest für neue Fragen auch einen neuen Post anlegen - so findet das niemand mehr!

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1. Mach eine neue Frage auf, wenn Du weiter Hilfe dazu brauchst.

2. Lies die Aufgabe genau, da steht wieviele Stützstellen genommen werden sollen (siehe Kommentar von @Werner-Salomon.

3. Der Spline soll gar nicht berechnet werden, und die gesuchte Matrix $A$ ist auch nicht sehr groß (nicht $16\times 16$. Steht alles in Deinem Skript. In die dortigen Formeln einsetzen.