Berechne das zweite Moment (Erwartungswert) von der Zufallsvariablen X aus.

Question

Aufgabe:

Berechne das zweite Moment (Erwartungswert) von der Zufallsvariablen X aus.

Die Gammafunktion ist wie folgt definiert:  $\Gamma:(0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ ist definiert durch $\Gamma(x):=\int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t$.

Hier der wichtigste Teil der Rechnung:

$\begin{array}{l}=\frac{1}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha+1} e^{-t} \mathrm{~d} t \\ =\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \\ =\frac{(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)}\end{array}$

Problem/Ansatz:

Ich kann den Rechenweg nicht nachvollziehen, warum

$\Gamma(\alpha+2)$ = $(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)$

Answer 1

warum $\Gamma(\alpha+2)$ = $(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)$

Partielle Integration

        $\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t = \left[u(t)v(t)\right]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t$

mit $v(t) = t^{x-1}$ und $u'(t) = \mathrm{e}^{-t}$.

Dann $a = 0$ einsetzen und Grenzwert für $b\to\infty$ bestimmen.

Nebenbei, zusammen mit $\Gamma(1) = 1$ ergibt das die wohlbekannte Tatsache, dass $\Gamma(n+1) = n!$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist.

Comments

Ich habe das auch so gemacht, aber mir ist noch nicht klar, warum ich a = 0 und b gegen unendlich laufen lassen soll. Könntest du mir das bitte nochmal erklären?

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie sich die Äquivalenz hier bildet:

Text erkannt:

$\begin{array}{l}=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \\ =\frac{(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)}\end{array}$

---

warum ich a = 0 und b gegen unendlich laufen lassen soll.

Weil in der Definition der Gammafunktion die untere Integrationsgrenze $0$ und die obere $\infty$ ist.

wie sich die Äquivalenz hier bildet

Indem du das Integral, das die Gammafunktion definiert, so wie von mir beschrieben in die Formel zur partiellen Integration steckst.