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Aufgabe:

Stellen Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung des Kreises k auf.

d)k berührt die x-Achse in P(3/0) und geht durch Q(0/1).

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K: (X - [3, 0])2 = 52 bzw.
K: x2 - 6·x + y2 = 16

Vielleicht wird dir das durch eine Skizze klarer.

blob.png

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Hallo,

(x-xm)2 + (y-ym)2 = r2

Wegen des Berührpunktes (3|0) ist xm=3 und ym=r.

(x-3)2 + (y-r)2 = r2

Q(0|1) → (0-3)2 + (1-r)2 =r2

9 + 1 -2r + r2 = r2 → r=5

Koordinatengleichung:

(x-3)2 + (y-5)2 =52

x2-6x+9+y2-10y+25=25

Ausmultipliziert:

x2-6x+y2-10y+9=0


Vektorgleichung : (x(35))2=25\text{\textbf{\textsf {Vektorgleichung:}}}\\\left(\vec x -\begin{pmatrix} 3\\ 5\end{pmatrix}\right)^2=25

:-)

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K: (X - [3, 0])^2 = 5^2 bzw.
K: x^2 - 6·x + y^2 = 16

Das ist falsch.

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Aloha :)

Der Gesuchte ist ein Kreis:k ⁣ : (xa)2+(yb)2=r2k\colon (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Der Kreis "berührt" die xx-Achse im Punkt P(30)P(3|0). Das heißt, die xx-Achse steht senkrecht zum Durchmesser des Kreises. Daher hat der Mittelpunkt die xx-Koordinate 33 und ist um a=3a=3 in xx-Richtung gegenüber dem Ursprung verschoben:k ⁣ : (x3)2+(yb)2=r2k\colon (x-3)^2+(y-b)^2=r^2

Beide Punkte P(30)P(3|0) und Q(01)Q(0|1) müssen die Kreisgleichung erfüllen:P(30)    (33)2+(0b)2=r2    b2=r2P(3|0)\implies(3-3)^2+(0-b)^2=r^2\implies b^2=r^2Q(01)    (03)2+(1b)2=r2    b2=r2102b+b2=b2    b=5Q(0|1)\implies(0-3)^2+(1-b)^2=r^2\stackrel{b^2=r^2}{\implies}10-2b+b^2=b^2\implies b=5

Damit haben wir die Kreisgleichung gefunden:k ⁣ : (x3)2+(y5)2=52\pink{k\colon(x-3)^2+(y-5)^2=5^2}

Das ist ein Kreis mit Mttelpunkt M(35)M(3|5) und Radius r=5r=5.

Die vektorielle Form der Kreisgleichung lautet daher:k ⁣ : r(35)=5k\colon\left\|\vec r-\binom{3}{5}\right\|=5

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