Question

Wann sind Tangenten parallel / normal zueinander?

Beispiel: Gibt es Stellen von f mit f(x)= x³ + 2x² -1 , in denen die Tangente a) parallel , b) normal zur Geraden g: 2x + 3y - 6=0 liegen? Wenn ja, welche Stellen sind es?

Danke im Vorfeld!

Answer 1

a)

g(x):

2x+3y-6=0

umstelle nach y:

3y= 6-2x

y= 2-2/3*x

y' = -2/3

f'(x) = g'(x)

3x²+4x = -2/3

x²+4/3*x+2/9=0

pq-Formel:

x1/2 = -2/3+-√(4/9-2/9) = -2/3+- 1/3*√2

b) f'(x) = -1/(-2/3) = 3/2

3x²+4x = 3/2

x²+4/3*x-3/2=0

x1/2 = -2/3+-√(4/9+3/2) = -2/3+-√(8/18+27/18) = -2/3+- √35/18

Answer 2

Hallo,

$2x+3y-6=0$

Bringe die Gleichung in die Form y = mx + b mit m = Steigung

$y=-\frac{2}{3}x+2$

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

Steigung von f(x) = 1. Ableitung

$f'(x)=3x^2+4x$

Setze f'(x) = m und löse nach x auf.

$3x^2+4x=-\frac{2}{3}$

$3x^2+4x+\frac{2}{3}=0\\ x^2+\frac{4}{3}x+\frac{2}{9}=0\\ x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{4}{9}-\frac{2}{9}}\\ x_1=-\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{2}{9}}\approx-0,1953\quad x_2=-\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{2}{9}}\approx -1,138$

Geraden sind senkrecht zueinander, wenn gilt $m_1\cdot m_2=-1$ bzw. die Steigung einer Geraden den negativen Kehrwert der anderen bildet.

Setze f'(x) = - 1/m und löse nach x auf.

$3x^2+4x=1,5\\$

$3x^2+4x-1,5=0\\ x^2+\frac{4}{3}x-0,5=0\\ x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{2}}\\ x_1=-\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{34}}{6}\approx 0,3052\quad x_2=-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{34}}{6}\approx -1,6385$

Gruß, Silvia

Comments

Toll, Silvia.

Ein dickes Plus dafür von mir. :)

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Dankeschön! :-)

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Danke, jetzt verstehe ich es!

Answer 3

Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn eine den Anstieg m und die andere den Anstieg -1/m hat.

Answer 4

Die Steigung der Geraden ist -2/3. Da, wo f ' ebenfalls -2/3 ist, liegen die parallelen Tangenten.

Normal heißt senkrecht: Senkrecht zu -2/3 ist 3/2. Da, wo f ' ebenfalls3/2 ist, liegen die normalen Tangenten.