Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z∈ℂ, für die \overline{z} = z2 ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z∈ℂ, für die z̄ = z² ist. Dabei ist z̄ die komplexe Konjugation, also $$\overline{x+iy} = x-iy. $$ Achten Sie auf Sonderfälle.

Problem/Ansatz:

Habe einige Male versucht durch Umformungen etwas brauchbares zu generieren, bin aber nicht wirklich voran gekommen.

Über Eure Hilfe würde ich nicht sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Comments

Über Eure Hilfe würde ich nicht sehr freuen.

Schade.

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Sollte natürlich "mich" heißen, sorry! :D Kann die Frage leider nicht mehr editieren...

Answer 1

$$\overline z=z^2\text{ mit }z=x+\mathrm iy\\\overline{x+\mathrm iy}=(x+\mathrm iy)^2\\x-\mathrm iy=x^2+2\mathrm ixy-y^2$$Nichtlineares Gleichungssystem:$$(1)\quad x^2-x-y^2=0\\(2)\quad(2x+1)y=0.$$Aus (2) folgt \(x=-\frac12\) oder \(y=0\).
(2a)  Aus \(y=0\) folgt \(x=0\) oder \(x=1\) nach (1).
(2b)  Aus \(x=-\frac12\) folgt \(y=\frac12\sqrt3\) oder \(y=-\frac12\sqrt3\) nach (1).


Alternativer Ansatz: Sicher ist \(z=0\) eine Lösung. Sei im folgenden \(z\ne0\).
Multiplikation mit \(z\) liefert \(\left\vert z\right\vert^2=z^3\). Daraus folgt \(z^3=1\).

Comments

Vielen Dank!

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in dem angefügten Desmos-Applet kann man den Punkt \(z\) mit der Maus verschieben. Wenn \(\overline{z}\) und \(z^2\) zusammen fallen, hat man eine Lösung für \(z\) gefunden.

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Sehr cool, vielen Dank!

Answer 2

Hallo

subfach die Gleichung hinschreiben, dann muss Realteil und Imaginärteil der linken und rechten Seite gleich sein. Sonderfall : y=0 da du dann nicht durch y kürzen kannst,

Gruß lul