Zeigen Sie, falls ein a ∈ R mit f (a + x) = f (a − x) für alle x ∈ R existiert, dann gilt E(X) = a.

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei eine stetige Zufallsvariable X mit E(X) < ∞ und zugehöriger Dichtefunktion f : R → [0, 1]. Zeigen Sie, falls ein a ∈ R mit f (a + x) = f (a − x) für alle x ∈ R existiert, dann gilt E(X) = a.

Problem/Ansatz

Mir fehlt hier irgendwie komplett der Ansatz, wie ich das angehen soll. Mit der Definition des Erwartungswert als Integral?

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Du musst die Symmetrie des Integrals um $x=a$ ausnutzen.

Schritt 1:

$f$ ist Dichte, also gilt $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\;dt = 1$

Jetzt splitten wir auf und substituieren:

$1= \underbrace{\int_{a}^{+\infty}f(t)\;dt}_{t=a+x} + \underbrace{\int_{-\infty}^{a}f(t)\;dt}_{t=a-x}$

$=\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx + \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx$

$\stackrel{f(a-x)=f(a+x)}{=}2 \int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = 2 \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx$

Damit erhalten wir $$\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx = \frac 12$$

Schritt 2:

Wir splitten genauso auf:

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)\;dt = \underbrace{\int_{a}^{+\infty}tf(t)\;dt}_{t=a+x} + \underbrace{\int_{-\infty}^{a}tf(t)\;dt}_{t=a-x}$

$= a {\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx}} {\color{red}{+ \int_{0}^{+\infty}xf(a+x)\;dx}}$

$+ a {\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx } } {\color{red}{ - \int_{0}^{+\infty}xf(a-x)\;dx}}$

$= \frac a2 + \frac a2 = a$

Denn, laut Voraussetzung gilt ${\color{red}{f(a+x)=f(a-x)}}$ und laut Schritt 1 gilt ${\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx = \frac 12 }}$.

Ergänzung zur Nachfrage:

Hier beispielhaft die Substitution für das zweite Integral $\int_{-\infty}^{a}tf(t)\;dt$.

Substitution:

$t = a-x,\; \frac{dt}{dx}=\color{blue}{-1}$

Integralgrenzen:

$t=a \mapsto \color{blue}{x=0}$

$t=-\infty \mapsto \color{blue}{x=+\infty}$

Damit erhältst du

$\int_{t=-\infty}^{a}tf(t)\;dt = {\color{blue}{-}}\int_{x=\color{blue}{+\infty}}^{\color{blue}{0}}(a-x)f(a-x)\;dx$

$=\int_{\color{blue}{0}}^{\color{blue}{+\infty}}(a-x)f(a-x)\;dx$

$= a\int_{{0}}^{{+\infty}}f(a-x)\;dx - \int_{{0}}^{{+\infty}}xf(a-x)\;dx$

Comments

Könnte ich hier noch ein paar Zwischenschritte bekommen. Ich verstehe auch nicht ganz, wie das funktioniert mit dem f(t) und t=a-x, also wie man von den ersten beiden Integralen und die zweiten kommt. Und wie kommt man von der vorletzten Zeile auf die Letzte, also wie kommt man auf a/2+a/2.

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@Student500

Ich hab mal etwas in meiner Antwort ergänzt.