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Aufgabe:

Gleichung aufstellen Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nebenstehende Tabelle gibt an, welche Menge \( N(t) \) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:

\( t \)                       4        7

\( N(t) \) in \( m g \)   60      18

Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt.


Problem/Ansatz:

wie lautet die Lösung?

von

3 Antworten

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Exponentialfunktion N

\(N(t) = a\cdot q^t\)

Punkte einsetzen. Du bekommst dadurch zwei Gleichungen. Löse das Gleichungssystem um \(a\) und \(q\) zu bestimmen.

von 105 k 🚀

Das ergibt allerdings eine sehr unhandliche Lösung, sofern man sie nicht großzügig rundet.

60 ist der Ausgangswert, den man meist als N(0) bezeichnet.

Ich werde N(7) auf N(3) abändern.

Das könnte verwirrend.

@Gast hj2166 Die Lösung ist dann zwar unhandlich, aber ich möchte jemandem, der grundlegende Probleme im Umgang mit Funktionen hat, nicht auch noch horizontale Verschiebung abverlangen.

@ggT Du änderst dadurch die Bedeutung der Variablen \(t\). Die Bedeutung der Variablen \(t\) ist aber in der Aufgabenstellung vorgegeben.

Das stimmt.

Man könnte vlt. schreiben:

N(t)= 60*0,3^(t-4)/3

Horizontale Verschiebung ist aber doch genau das, was die Aufgabenstellun verlangt, wenn nicht der N(0)-Wert angegeben ist.

298,7603·0,669433^t ist wirklich unhandlich, wenn man es nicht wie oben angedeutet drastisch zu 300·(2/3)^t rundet.

Generell gilt doch mit einem Anfangszeitpunkt tA und einem Bestand NA zu diesem Zeitpunkt, dass wenn sich der Bestand innerhalb eines Zeitraums Δt mit dem Faktor b ändert, dass sich dann der Bestand zu einem Zeitpunkt t durch N(t) = NA·b(t-tA)/Δt berechnen lässt. Dieser allgemeine Zusammenhang muss doch (ähnlich wie die pq-Formel) nicht jedesmal neu hergeleitet werden.

Hier ergibt sich also ohne Rechnung sofort N(t) = 60·0,3(t-4)/3 = 18·0,3(t-7)/3

Das ergibt allerdings eine sehr unhandliche Lösung, sofern man sie nicht großzügig rundet.

Die Lösung ist weder unhandlich, noch muss man großzügig runden; sie kann sogar exakt und primitiv errechnet werden.

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N(t) = N(0)*a^t

N(3) = 60*a^3= 18

60*a^3 = 18

a= (18/60)^(1/3)= (3/10)^(1/3)

N(t) = 60*0,3^(t/3)

oder:

mit N(0) = Menge in t0:

N(0) =

60*0,3^(-4/3) = 298,76

N(t) = 298,76*0,3^(t/3)

von 35 k

N(0) ist aber nicht das Gleiche wie N(4).

Der Anfangswert ist nicht 60,

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n ( t ) = n0 * a^t

(  t | n )
( 4 | 60 )
( 7 | 18 )
n ( 4 ) = n0 * a^4 = 60
n ( 7 ) = n0 * a^7 = 18

n0 * a^7 = 18
n0 * a^4 = 60  | teilen
--------------------------
a^7 / a^4 = 18 / 60
a^3 = 18 / 60
a = 0.6694

n0 * 0.6694^7 = 18
n0 = 298.8632

Probe
298.8632 * 0.6694^4 = 60
59.9665 = 60 Bingo

n ( t ) = 298.8632 * 0.6694^t

von 122 k 🚀

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