Unbegrenzte Fläche mit y=2e^x gesucht

Question

"Der Graph der Funktion f(x) = 2e^x schließt mit den Koordinatenachsen eine nach links (--> im 2. Quadranten) nicht begrenzte Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche einen endlichen Inhalt A hat."

Mein Ansatz: A(z) = (2e^x) mit der unteren Grenze z und der oberen Grenze 0

Also: A(z) = 2e^0 -2e^z
2e^0 = 2     2e^z --> unendlich
deshalb wär es doch 2-unendlich und deshalb ist A(z) = - unendlich, da es aber keinen negativen Flächeninhalt gibt, bin ich jetzt etwas verwirrt.

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen

Danke schon mal

Answer 1

A(z) = 2e⁰ -2e^z

Bis hierhin stimmt alles.  Dein Fehler ist, dass du für z ∞ einsetzt, tatsächlich ist es aber -∞.

Dadurch bekommst du als Grenzwert für den zweiten Teil unendlich heraus, tatsächlich ist er aber gleich 0.

Es ergibt sich:

lim_z→-∞ A(z) = lim_z→-∞ 2 - 2e^z = 2 - 2e^-∞ = 2 - 0 = 2

Damit ergibt sich ein endlicher Flächeninhalt von 2.