Wie löse ich die Gleichung? x^3-3x^2+4=0

Question

Aufgabe: Löse die Gleichung: x^3-3x^2+4=0

…

Problem/Ansatz: Wie löse ich die Gleichung?

Answer 1

Hallo,

durch Raten findest du eine Nullstelle bei x = 2. Wende dann die Polynomdivision an.

Berechne dann \(x^2-x-2=0\) z.B. mit der pq-Formel.

\(x_{1,2}=0,5\pm\sqrt{0,25+2}\\ x_1=-1\quad x_2=2\)

Bei x = 2 ist also eine doppelte Nullstelle, d.h. der Graph der Funktion berührt dort die x-Achse, er schneidet sie nicht wie bei x = -1.

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Wir suchen Lösungen der Gleichung:$$x^3-3x^2+4=0$$

Zuerst suchen wir nach ganzzahligen Lösungen. Diese müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also in diesem Fall von der \(4\). Die Teiler von \(4\) sind \((\pm1)\),\((\pm2)\) und \((\pm4)\).

Wir probieren die Kandidaten aus und finden Nullstellen bei \(x=-1\) und bei \(x=2\).

Der Term enhält also die Linearfaktoren \((x+1)\) und \((x-2)\). Daher gilt:$$x^3-3x^2+4=(x+1)\cdot(x-2)\cdot(x-a)\stackrel!=0$$

Die letzte Nullstelle \(a\) finden wir durch Einsetzen eines \(x\), das nicht schon als Nullstelle bekannt ist, z.B. können wir hier \(x=0\) wählen:$$4=(0+1)\cdot(0-2)\cdot(0-a)=2a\implies a=2$$

Damit haben wir gefunden:$$x^3-3x^2+4=(x+1)\cdot(x-2)^2\stackrel!=0$$

Wir haben also eine Nullstelle bei \(x=-1\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=2\).

Answer 3

Man kann sich überlegen, dass \(x=-1\) und \(x=2\) Lösungen sind. Das sieht man entweder sofort oder man probiert die ganzzahligen Teiler vom Absolutglied durch. Nun hat man bereits zwei von den drei maximal möglichen Lösungen gefunden. Also muss es auch noch eine dritte, ebenfalls ganzzahlige, Lösung geben. Da das Produkt der drei Linearfaktoren im Absolutglied \(4\) ergeben muss, ist \(x=2\) eine doppelte Nullstelle.

Answer 4

mit einer Polynomdivision, erste Nullstelle raten,

x= -1 ist Nullstelle = 1. Lösung

-> x^3-3x+4: (x+1) = ...

Answer 5

Es gibt eine ganz einfache ganzzahlige Lösung  x₁ .

Dann kann man aus dem Term  x³ - 3 x² + 4  den Linearfaktor  (x - x₁)  ausklammern. Es verbleibt dann noch eine quadratische Gleichung zu lösen.