Bestimme alle Parameter α, β ∈ ℝ so, dass das uneigentliche Integral konvergiert

Question

Aufgabe:

$\int\limits_{1}^{\infty}$ $\frac{1}{x^{α}log(x)^{β}}$dx

Problem/Ansatz:

Man soll nun alle Parameter α, β ∈ ℝ so bestimmen, dass das uneigentliche Integral konvergiert. Prinzipiell weiß ich genau, was zu tun ist, aber bei diesem Beispiel komme ich nicht weiter. Ich habe einmal versucht mittels Substitution zu arbeiten, komme aber nicht recht voran!

Comments

Welche Substitution hast Du denn versucht? Mit welchem Ergebnis?

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Ich nehme mal an, dass $\log^{\beta}(x) = \left( \log x\right)^{\beta}$ gemeint ist, oder?

Welche Konvergenzkriterien zu uneigentlichen Integralen kennst du denn so? Kennst du schon das Grenzwertkriterium?

Übrigens empfehle ich als ersten Schritt die Substitution $x= e^t,\; t\in (0,\infty)$. Dann musst du das Integral aufsplitten. Z. Bsp. betrachtest du $t\in (0,1)$ (das gibt Bedingungen für $\beta$) und $t\in (1,\infty)$ (das gibt Bedingungen für $\alpha$).

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u → log(x) → du = 1/x dx. Außerdem $x^{1-a}$ = e^(1-a)u:

$\frac{1}{log(x)^b}$ = $\frac{1}{u^b}$ =  $\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}$du

v → $u^{1-b}$ → du = $\frac{1-b}{u^b}$:

- $\frac{1}{b-1}$ $\int\limits_{}^{}$ $e^{(1-a)u^{1/(b-1)}}$ dv

w → $(1-a)^{1-b}$ v → dw = $(1-a)^{1-b}$ dv:

= $\frac{(1-a)^b}{a-1}$ $\int\limits_{}^{}$ $e^{w^{1/1-b}}$ dw

Ab diesem $\int\limits_{}^{}$ $e^{w^{1/1-b}}$ dw komm ich jetzt nicht weiter

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Kriterien an sich im Bezüg auf uneigentliche Integrale kenne ich keins - ich weiß nur, dass wenn der

$\lim \limits_{\alpha \downarrow a, \beta \uparrow b} \int \limits_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ existiert, man dann sagt, dass das uneigentliche Integral konvergiert.

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Kann es sein, dass du versuchst, eine allgemeine Stammfunktion für beliebige  $\alpha,\beta$ zu finden?

Das kannst du vergessen. Nur mal so zum Spaß: Hier der Fall $\alpha = \frac 32, \beta = \frac 12$.

Du sollst nur Konvergenz zeigen. Nach deiner ersten Substitution hat das Integral eine Form, in der du es gut abschätzen kannst.

Falls nicht schon jemand anderes zwischenzeitlich antwortet, schreib ich nachher eine kleine Antwort.

Answer 1

Deine erste Substitution $u=\log x \Leftrightarrow x=e^u$ führt auf das uneigentliche Integral

$$\int_0^{\infty}\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}du$$

Offenbar ist dieses Integral auch uneigentlich bei der unteren Grenze $u=0$. Also splittest du das Integral auf.

(1) $I_1 := \int_0^1\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}du$

Was auch immer $a \in \mathbb{R}$ ist, die Funktion $e^{(1-a)u}$ ist stetig und positiv auf $[0,1]$. Damit können wir für jedes $a$ Konstanten finden mit

$0<m_a \leq e^{(1-a)u} \leq M_a$

$\Rightarrow m_a \int_0^1\frac{1}{u^b}du \leq \int_0^1\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}du \leq M_a \int_0^1\frac{1}{u^b}du$

Das heißt, $I_1$ konvergiert genau dann, wenn $\int_0^1\frac{1}{u^b}du$ konvergiert.

Bingo! $\boxed{b < 1}$.

(Kannst du gern selber per Stammfunktion von $\frac 1{u^b}$ nun nachrechnen.)

(2) $I_2 := \int_1^\infty\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}du$

Für $1-a\geq 0$ ist $e^{(1-a)u}\geq 1$. Damit ist

$I_2 \geq \int_1^\infty\frac{1}{u^b}du \stackrel{b<1}{=}\infty$ (Bitte selber nachrechnen.)

Also müssen wir nur noch $a > 1 \Leftrightarrow a-1> 0$ prüfen.

Ein möglicher Weg ist, die e-Reihe zu nutzen. Für $x > 0$ gilt auf jeden Fall

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!} > \frac {x^n}{n!}$ für beliebiges $n\in\mathbb N \Rightarrow \frac 1{e^x} < \frac {n!}{x^n}$.

Jetzt können wir den Integranden abschätzen. Wähle dazu ein $n>1-b$:

$\frac{e^{(1-a)u}}{u^b} = \frac{1}{u^be^{(a-1)u}} < \frac{n!}{u^b(a-1)^nu^n} = \frac{n!}{(a-1)^n}\frac 1{u^{n+b}}$

$\Rightarrow \int_1^\infty\frac{e^{(1-a)u}}{u^b}du < \frac{n!}{(a-1)^n}\int_1^\infty\frac 1{u^{n+b}}du \stackrel{n+b > 1}{<} \infty$.

$I_2$ ist also für $\boxed{a >1}$ konvergent (und sogar unabhängig davon, was $b$ ist).

Alles zusammen: $\boxed{b < 1,\; a> 1}$

Comments

Vielen lieben Dank, dass du dir die Mühe für diese genaue Antwort genommen hast - diese ist wirklich sehr verständlich und übersichtlich. Ich hätte also richtig Angefangen und wäre dann zu Weit abgeschweift ☺.

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Genau. Aber ägere dich nicht über solche "Abschweifungen". Die gehören dazu und können auch sehr lehrreich sein.

Also weitermachen und weiterfragen.