Berechne das uneigentliche Integral

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int \limits_{-\infty}^{0} e^{2 x} d x$

Problem/Ansatz:

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung: Vielen Dank im Voraus für die Hilfe. Liebe Grüße Sevi

Answer 1

Hallo,

Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\int \limits_{-\infty}^{0} e^{2 x} d x$

Answer 2

1. Stammfunktion $F$ von $x\mapsto \mathrm{e}^{2x}$ bestimmen.
2. $F(0)$ berechnen.
   
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)$ berechnen.
4. Subtrahieren.
   

Answer 3

Aloha :)

Der Integrand lautet $f(x)=e^{2x}$.

Duch die Substitution $\green{u\coloneqq2x}$ mit $\frac{du}{dx}=2$ bzw. $\red{dx=\frac{du}{2}}$ finden wir Stammfunktionen:

$$F(x)=\int e^{\green{2x}}\,\red{dx}=\int e^{\green u}\,\red{\frac{du}{2}}=\frac12\int e^{\green u}\,du=\frac12e^{\green u}+\text{const}=\frac12e^{\green{2x}}+\text{const}$$

Damit kannst du das uneigentliche Integral nun bestimmen:$$\int\limits_{-\infty}^0e^{2x}\,dx=F(0)-\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=\frac12e^0-\lim\limits_{x\to-\infty}\frac12e^{2x}=\frac12\cdot1-\frac12\cdot0=\frac12$$

Answer 4

F(x) = 1/2*e^(2x) +C

[0,5*e^(2x)]von -oo bis 0

= 0,5*e⁰ - 0,5e^(-oo)  = 0,5- 0 = 0,5