Funktion untersuchen auf Verhalten im Unendlichen und Asymptoten

Question

Aufgabe:

$\displaystyle f(x)= \frac{(x^2+4x-5)\cdot (x-3)}{(x-2)\cdot(x-1)}$

f ist eine reellwertige Funktion in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich. Die funktion soll auf Klassifikation der Unstetigkeitsstellen und Verhalten im Unendlichen/Asymptoten untersucht werden?

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion$$f(x)=\frac{(x^2+4x-5)(x-3)}{(x-2)(x-1)}$$ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners:$\quad\mathbb D=\mathbb R\setminus\{1;2\}$

Definitionslücken

Für die Definitionslücke $x=1$ ist nicht nur der Nenner null, sondern auch der Zähler ist null. Daher liegt bei $x=1$ eine behebbare Lücke vor.

Für die Definitionslücke $x=2$ ist der Nenner null und der Zähler gleich $(-7)$, also ungleich null. Daher liegt bie $x=2$ eine Polstelle vor.

Weiter wechselt bei $x=2$ der Faktor $(x-2)$ im Nenner sein Vorzeichen von Minus nach Plus. Daher liegt bei $x=2$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Asymptoten

Zur Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen formen wir den Funktionsterm etwas um:$$f(x)=\frac{\pink{(x^2+4x-5)}(x-3)}{(x-2)(x-1)}=\frac{\pink{(x+5)\cancel{(x-1)}}(x-3)}{(x-2)\cancel{(x-1)}}=\frac{(x+5)(x-3)}{x-2}$$Jetzt erkennst du übrigens schön, dass bei $x=1$ eine behebbare Lücke vorliegt, denn in den gekürzten Funktionsterm kannst du $x=1$ einsetzen.

Aber wir wollten die Asymptoten bestimmen, also rechnen wir weiter:$$f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}=\frac{(x^2-2x)+(4x-8)-7}{x-2}=\frac{x\pink{(x-2)}+4\pink{(x-2)}-7}{\pink{x-2}}$$$$f(x)=x+4-\frac{7}{x-2}$$Für $x\to\pm\infty$ verschwindet der übriggebliebene Bruch und die Asymptote lautet:$$a(x)=x+4$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = ((x²+4x-5)·(x-3))/((x-2)·(x-1))Zoom: x(-20…20) y(-20…20)x = 2f₂(x) = x+4

Answer 2

Hallo,

x²+4x-5=(x-1)(x+5)

Das sollte dir weiterhelfen.

Answer 3

x= 1 ist eine hebbare Defifinitionslücke

f(x) ist für x=1 und x=2 nicht definiert

Der Zählergrad ist höher als der Nennergrad.