Symmetrie, Asymptoten, Wendepunkte

Question

Die Aufgabe mit der ich schwierigkeiten habe lautet:

untersuchen sie die funktion f(x) = xe^-(x)^2

auf symmetrie, asymptoten, extrema und wendepunkte.

angefangen mit der symmetrieuntersuchung ergibt: -f(x) = f(-x) -> punktsymmetrie zu ursprung.

bei den asymptoten habe ich: f(x) = xe^-(x)^2 = 1 / xe^{x}^2 -> Nennernullstelle x=0 also waagrechte Asymptote, ist die jetzt parallel zur x achse? bzw. ist die x-achse die asymptote?

extrema:

x1= 1/sqrt2    x2= - 1/sqrt2

wie prüfe ich jetzt was ein minimum/maximum ist ? die y-werte berechnen sich ja durch einsetzen in f(x)

aus der 2. ableitung ergeben sich x-werte für wendepunkte: x1=0 x2= -sqrt(3/2)  x3= sqrt(3/2)

wie "beweist" man jetzt die wendepunkte?

Comments

Wie heißt deine Funktion ?

f ( x * ) = x * e hoch ( minus (x-Quadrat ) )

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ja, es ist f(x) = x*e hoch (minus(x-quadrat))

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e^{-x^2}  oder e^{(-x)^2}  ?

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f(x) = xe^-x2  

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Hier meine Berechnungen

Wendestelle habe ich vergessen

f ´´ ( x ) =

Satz vom Nullprodukt

x = 0
und
6 - 4*x^2 = 0
x^2 = 6/4
x = ±√ ( 6/4)

Bin Bedarf gern noch weiter behilflich

Die x-Achse ist die Asymptote.

mfg Georg

Answer 1

Die Symmetrie ist richtig.

Asymptote ist sowohl die negative, wie die positive x-Achse, denn für x gegen ±Unendlich gehen die Werte gegen Null.

Nach Extrema ist nicht gefragt, aber deine Antworteh sind trotzdem richtig.

Mini/Maxi-Entscheidung f ''(1/√2)= -2√2e^-1/2. Also Max bei 1/√2.

f ''(-1/√2)= 2√2e^-1/2. Also Min bei -1/√2.

Wendepunkte sind die Nullstellen der 2. Ableitung, wenn dort die dritte Ableitung ungleich Null ist. Wendepunkte liegen bei x=0 und x=±√6/2.

Answer 2

x=0 ist die x-achse, deine Ergebnisse sind richtig:

Gruß Wolfgang