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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Der Winkel \(\varphi\) zwischen den beiden folgt aus dem Skalarprodukt:$$\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot\|\vec v\|}=\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-3)^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}=\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{14}\,\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$
Wegen \(\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\) lautet also die Forderung an die Koordinaten:$$\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{14}\,\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\sqrt3}{2}$$$$-2x+4y-6z=\sqrt{42}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Wähle z.B. 2 Variablen, setze sie ein und rechne dann die dritte Variable aus. Wir wollen aber eine "schöne" Lösung dieser Gleichung finden. Ganzzahlige Werte wären nicht schlecht. Dafür müssen wir die Wurzel rechts loswerden, daher fordern wir$$x^2+y^2+z^2=42$$Dann wird die Bedingungsgleichung zu:$$-2x+4y-6z=42$$Wir setzen die beiden linken Seiten gleich, denn sie sind ja beide gleich \(42\):$$x^2+y^2+z^2=-2x+4y-6z\quad\implies$$$$(x^2+2x)+(y^2-4y)+(z^2+6z)=0\quad\implies$$$$(x^2+2x\pink{+1})+(y^2-4y\pink{+4})+(z^2+6z\pink{+9})=\pink{1+4+9}\quad\implies$$$$(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=\pink{1+4+9}$$
Links stehen 3 Quadratzahlen, rechts stehen 3 Quadratzahlen. Wir wählen:$$x=1\quad;\quad y=5\quad;\quad z=-4\quad\text{oder}\quad x=-4\quad;\quad y=1\quad;\quad z=-5$$
