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Aufgabe:

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Text erkannt:

Gegeben seien die Vektoren
u=(123) und v=(xyz) u=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)
Bestimmen Sie v v so, dass die beiden Vektoren u u und v v einen Winkel von 30 30^{\circ} besitzen.

Ich weiß nicht wie ich auf den Vektor kommen soll.

Danke im Voraus.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Winkel φ\varphi zwischen den beiden folgt aus dem Skalarprodukt:cosφ=uvuv=x+2y3z(1)2+22+(3)2x2+y2+z2=x+2y3z14x2+y2+z2\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot\|\vec v\|}=\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-3)^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}=\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{14}\,\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

Wegen cos(30)=32\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2} lautet also die Forderung an die Koordinaten:x+2y3z14x2+y2+z2=32\frac{-x+2y-3z}{\sqrt{14}\,\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\sqrt3}{2}2x+4y6z=42x2+y2+z2-2x+4y-6z=\sqrt{42}\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Wähle z.B. 2 Variablen, setze sie ein und rechne dann die dritte Variable aus. Wir wollen aber eine "schöne" Lösung dieser Gleichung finden. Ganzzahlige Werte wären nicht schlecht. Dafür müssen wir die Wurzel rechts loswerden, daher fordern wirx2+y2+z2=42x^2+y^2+z^2=42Dann wird die Bedingungsgleichung zu:2x+4y6z=42-2x+4y-6z=42Wir setzen die beiden linken Seiten gleich, denn sie sind ja beide gleich 4242:x2+y2+z2=2x+4y6z    x^2+y^2+z^2=-2x+4y-6z\quad\implies(x2+2x)+(y24y)+(z2+6z)=0    (x^2+2x)+(y^2-4y)+(z^2+6z)=0\quad\implies(x2+2x+1)+(y24y+4)+(z2+6z+9)=1+4+9    (x^2+2x\pink{+1})+(y^2-4y\pink{+4})+(z^2+6z\pink{+9})=\pink{1+4+9}\quad\implies(x+1)2+(y2)2+(z+3)2=1+4+9(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=\pink{1+4+9}

Links stehen 3 Quadratzahlen, rechts stehen 3 Quadratzahlen. Wir wählen:x=1;y=5;z=4oderx=4;y=1;z=5x=1\quad;\quad y=5\quad;\quad z=-4\quad\text{oder}\quad x=-4\quad;\quad y=1\quad;\quad z=-5

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