Aloha :)
Ach, die Leibnizregel habe ich auch länger nicht gebraucht...$$F(y)=\int\limits_{\green{u(y)}}^{\red{o(y)}}f(x;y)\,dx\implies$$$$F'(y)=f(\red{o(y)};y)\cdot\red{o'(y)}-f(\green{u(y)};y)\cdot\green{u'(y)}+\int\limits_{\green{u(y)}}^{\red{o(y)}}\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}\,dx$$
Du musst jeweils die obere Grenze, die untere Grenze und den Integranden ableiten.
Unser Patient sieht so aus:$$f(x)=\int_{\green0}^{\red{e^x+\arctan(x)}}\cos(t^2)\,dt$$
Daher ist die geuschte Ableitung:$$f'(x)=\cos\left(\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)^2\right)\cdot\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)'$$
Der zweite Term fällt weg, weil die Ableitung der unteren Grenze null ist.
Der dritte Term fällt weg, weil der Integrand nicht von \(x\) abhängt.
Damit haben wir das Problem auf die Ableitung von \(\arctan(x)\) reduziert:
$$y=\arctan(x)\implies x=\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}\quad\implies$$$$\frac{dx}{dy}=\frac{\cos(y)\cos(y)-\sin (y)\cdot(-\sin(y))}{\cos^2(y)}=\frac{\cos^2(y)+\sin^2(y)}{\cos^2(y)}=1+\tan^2(y)$$$$\phantom{\frac{dx}{dy}}=1+\tan^2(y=\arctan(x))=1+x^2\quad\implies$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$
Die gesuchte Ableitung ist also:$$f'(x)=\cos\left(\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)^2\right)\cdot\left(e^x+\frac{1}{1+x^2}\right)$$
