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Aufgabe:

Die Aufgabe lautet, dass der gesamte Term berechnet werden soll.

(8 - \( \frac{6x-1}{x} \) - \( \frac{4}{4x} \))⋅ ( 2+x-5⋅ \( \frac{2+x}{6} \) +2x ⋅ \( \frac{1}{-12} \))

Problem/Ansatz:

Mir liegt die Lösung \( \frac{2}{3} \) für diese Aufgabe vor und mit der schrittweisen Lösung kann ich mir das Ergebnis auch eigenständig erarbeiten. Allerdings verstehe ich einen Bereich bei den Vorzeichen nicht, weshalb ich hier gerne um Rat fragen möchte.

Die Verständnisschwierigkeit tritt sowohl im ersten als auch im zweiten Term auf. Jedoch dürfte es sich jeweils um das identische Problem handeln.

Das Problem beim ersten Term:

Ich fasse den Term wie folgt zusammen:
\( \frac{8x-6x-1-1}{x} \)

Nach der Musterlösung ist jedoch Folgendes korrekt:
\( \frac{8x-6x+1-1}{x} \)


Und hier verstehe ich nicht so ganz, warum die erste 1 addiert wird. Meine Vermutung wäre die Folgende:
Dadurch dass der Term 6x-1 übernommen wurde, muss aufgrund des negativen Vorzeichens mit -1 multipliziert werden.

Allerdings fehlt mir hier der Zusammenhang zum mathematischen Gesetz, um diesen Fall nachschlagen zu können.

Selbiges gilt für den zweiten vereinfachten Term:

2+x-\( \frac{5⋅(2+x)}{6} \) - \( \frac{2x}{12} \)


Mein Ansatz wäre hier der folgende gewesen:

\( \frac{12+6x-10+5x-x}{6} \)


Die korrekte Form wäre jedoch ebenfalls mit einem negativen Vorzeichen, nachdem der mittlere Term ausmultipliziert wurde:

\( \frac{12+6x-10-5x-x}{6} \)


Hier würde mir als Lösung ebenfalls nur einfallen, dass das negative Vorzeichen berücksichtigt werden muss und somit Folgendes gelten würde:

\( \frac{-5 ⋅ (2+x)}{6} \) = -\( \frac{10-5x}{6} \)


Liege ich hier mit meiner Annahme richtig? Wenn ja, welches mathematische Gesetz genau muss ich mir hier anschauen, um es nochmals zu verinnerlichen?

Ich danke vorab für die Unterstützung und wünsche einen schönen Abend!

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2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

du musst bei dem 1. Term beachten, dass sich das Minuszeichen vor dem Bruch auf den kompletten Zähler bezieht, nicht nur auf die 6x.

\(\displaystyle 8-\frac{6 x-1}{x}-\frac{4}{4 x}=8-\frac{6x-1}{x}-\frac{1}{x}\)

Das ergibt dann

\(\displaystyle \frac{8x-(6x-1)-1}{x}=\frac{8x-6x+1-1}{x}=\frac{8x-6x}{x}=2\)


Ebenso beim zweiten Term:

\( \begin{aligned} & 2+x-5 \cdot \frac{2+x}{6}+2 x \cdot\left(-\frac{1}{12}\right) \\[15pt] = & 2+x-\frac{5(2+x)}{6}-\frac{2 x}{12} \\[15pt] = & 2+x-\frac{10+5 x}{6}-\frac{x}{6} \\[15pt] = & \frac{12}{6}+\frac{6 x}{6}-\frac{10+5 x}{6}-\frac{x}{6} \\[12pt] = & \frac{12+6 x-(10+5 x)-x}{6} \\[12pt] = & \frac{12+6 x-10-5 x-x}{6} \\ = & \frac{1}{3}\end{aligned} \)

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Vielen Dank für die Antworten!

Eine Verständnisfrage hätte ich noch. Wenn der Term in Klammern gesetzt wird und ein negatives Vorzeichen vorhanden ist, ist dann der folgende Gedanke korrekt?


$$-\frac{6x-1}{x} = \frac{(-1)⋅(6x-1)}{x}=-\frac{6x+1}{x}$$


Falls dieser Gedanke falsch ist, fehlt mir noch der Zusammenhang, aus welchem Grund das Vorzeichen geändert wird. Vielleicht habe ich auch gerade nur einen Denkfehler, weshalb ich das Thema vermutlich komplexer mache, als es eigentlich ist.

\(-\frac{6 x-1}{x}=\frac{(-1) \cdot(6 x-1)}{x}=\frac{-6x+1}{x}\)

Wenn du jetzt das Vorzeichen für den ganzen Bruch wieder ändern möchtest (warum auch immer ;-)), dann wird -6x zu 6x und 1 zu -1 und damit hast du wieder den 1. Bruch.

Ich hatte das Verständnis, dass so das Vorzeichen umgekehrt wird. Aber ich vermute, dass ich damit falsch liege.

Dann fehlt mir in diesem Fall in der Tat das Verständnis, wieso aus

 \( \frac{8x-(6x-1)-1}{x} \)  dann \( \frac{8x-6x+1-1}{x} \) wird.


Meine explizite Vermutung war, dass das negative Vorzeichen mit einem $$(-1)⋅$$ gleichzusetzen wäre.

Das ist auch so.

Nimm an, vor der Klammer stände -3. Dann würdest du doch auch rechnen \(-3\cdot(6x-1)=-18x+3\)

Dann habe ich es jetzt verstanden, vielen Dank!

+1 Daumen

Guten Abend. Werden zusätzliche Klammern an den Stellen eingefügt, wo sie bei der Bruchschreibweise gerne weggelassen werden, wird es vielleicht deutlicher: $$\left(8 - \frac{(6x-1)}{x}  - \frac{4}{4x} \right)\cdot \left( 2+x-5⋅  \frac{(2+x)}{6}  +2x \cdot \frac{1}{-12} \right) $$

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