Aufgabe:
Zeige dass für zwei komplexe Zahlen z1=a + ib und z2=x+iy mit a,b,x,y ∈R\in \mathbb{R}∈R folgende Ungleichung gilt
max{∣a−x∣,∣b−y∣}≤∣z1−z2∣max\{|a-x|, |b-y|\} \leq |z1-z2|max{∣a−x∣,∣b−y∣}≤∣z1−z2∣
Problem/Ansatz:
∣x∣=x2≤x2+y2=∣z∣|x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|∣x∣=x2≤x2+y2=∣z∣
∣y∣=y2≤x2+y2=∣z∣|y| =\sqrt{y^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|∣y∣=y2≤x2+y2=∣z∣
Ich komme aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Wende Deine Überlegungen auf z:=z1-z2 an
z1−z2=(a−x)+i(b−y)z_1 - z_2 = (a-x)+i(b-y)z1−z2=(a−x)+i(b−y)∣z1−z2∣2=(a−x)2+(b−y)2≥(a−x)2(1)|z_1 - z_2|^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2 \geq (a-x)^2 \quad (1)∣z1−z2∣2=(a−x)2+(b−y)2≥(a−x)2(1)∣z1−z2∣2=(a−x)2+(b−y)2≥(b−y)2(2)|z_1 - z_2|^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2 \geq (b-y)^2 \quad (2)∣z1−z2∣2=(a−x)2+(b−y)2≥(b−y)2(2)(1),(2)⇒(1),(2) \Rightarrow (1),(2)⇒∣z1−z2∣≥∣a−x∣(3)|z_1 - z_2| \geq |a-x| \quad (3)∣z1−z2∣≥∣a−x∣(3)∣z1−z2∣≥∣b−y∣(4)|z_1 - z_2| \geq |b-y| \quad (4)∣z1−z2∣≥∣b−y∣(4)(3),(4)⇒(3),(4) \Rightarrow(3),(4)⇒∣z1−z2∣≥max(∣a−x∣,∣b−y∣) |z_1 - z_2| \geq \max(|a-x|,|b-y|)∣z1−z2∣≥max(∣a−x∣,∣b−y∣)
Sei z3=a+iyz_3 = a + \mathrm{i}yz3=a+iy. Dann ist ∣a−x∣=∣z3−z2∣|a-x| = |z_3 - z_2|∣a−x∣=∣z3−z2∣ und ∣b−y∣=∣z1−z3∣|b-y| = |z_1- z_3|∣b−y∣=∣z1−z3∣. Dann Satz des Pythagoras.
Hallo oswald. Ich sehe nicht ganz, wie ich aus den gegebenen Informationen den Satz des Pythagoras anwenden soll
Zeichne z1z_1z1, z2z_2z2 und z3z_3z3 in der gaußschen Zahlenebene ein.
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