Weil T' ein Teilgraph von T ist, ist er kreisfrei.
Seien nun \(v,w \in V'\). Dann ist zu zeigen, dass sie in T' durch einen Weg verbunden sind.
Zunächst existiert ein Weg \((v=x_0,x_1, \ldots, x_n=w)\) in \(T_1\). Wir zeigen, dass dieser Weg in allen anderen \(T_i\) liegt. Wenn er nicht, sagen wir, in \(T_2\) liegt, dann existiert dort ein Weg \((v=y_0,y_1, \ldots y_m=w)\), der verschieden ist von dem Weg in \(T_1\).
Also gibt es einen kleinsten Index i mit \(x_i=y_i\) und \(x_{i+1} \neq y_{i+1}\) (Also der erste Knoten, nachdem sich die beiden Wege trennen, das kann - muss aber nicht - schon v sein.). Dann existiert ein kleinster Index k>i, dazu j>i mit \(x_k=y_j\) (Also der Knoten, wo beide Weg zum ersten mal wieder zusammentreffen, spätesten bei w).
Damit hätten wir in T einen Kreis konstruiert: $$(y_i=x_i,x_{i+1}, \dots,x_{k-1},x_k=y_j,y_{j-1}, \dots y_j)$$
T enthält aber keinen Kreis.
