Zeigen Sie: A ist genau dann symmetrisch, wenn wenn es S ∈ \operatorname{Mat}(n ; ℂ) gibt mit A={ }^{t} S S .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( A \in \operatorname{Mat}(n ; \mathbb{R}) \). Zeigen Sie: \( A \) ist genau dann symmetrisch, wenn wenn es \( S \in \operatorname{Mat}(n ; \mathbb{C}) \) gibt mit \( A={ }^{t} S S \).

Problem/Ansatz:

Hat Jemand hierzu vielleicht einen Tipp? Ich komme hier nicht wirklich weiter :(

Comments

Geht vielleicht was mit Polarzerlegung ???

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"=>" Symmetrische Matrizen sind orthogonal diagonalisierbar. Es existiert also eine Zerlegung \( A = U^T \Lambda U \) mit

$$ \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\&\ddots\\&&\lambda_n \end{pmatrix} $$

Setze jetzt

$$ \Lambda^{1/2} := \begin{pmatrix} \sqrt \lambda_1 \\&\ddots\\&&\sqrt \lambda_n \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n\times n} $$

dann gilt mit \( S:= \Lambda^{1/2}U \in \mathbb{C}^{n\times n} \) bereits \( A = S^TS \)

"<=": Nachrechnen

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Vielen Dank! Die Idee hatte ich auch aber hielt es für zu wenig. Aber dann habe ich Gewissheit vielen Dank!