Basis Vektorraum bestimmen. Ist die Aufgabe falsch formuliert?

Question

Gegeben seien im \( \mathbb{R}^{5} \) die Vektoren
\( \begin{array}{l} v_{1}=(4,1,1,0,-2), v_{2}=(0,1,4,-1,2), v_{3}=(4,3,9,-2,2), \\ v_{4}=(1,1,1,1,1), v_{5}=(0,-2,-8,2,-4) . \end{array} \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( V=\operatorname{Span}\left(v_{1}, \ldots, v_{5}\right) \).
(b) Wählen Sie alle möglichen Basen von \( V \) aus den Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{5} \) und kombinieren sie jeweils \( v_{1}, \ldots, v_{5} \) daraus linear.

Comments

Ist die Aufgabe falsch formuliert?

Nein. Was soll daran falsch sein ?
Tipp : Wenn du zuerst (b) bearbeitest, dann hast du automatisch fünf mögliche Lösungen für (a).

Answer 1

zu b) Versuche a,b,c,d,e zu bestimmen mit

a*v1+b*v2+c*v3+d*v4 +ev5 = 0-Vektor.

Wenn es genau eine Lösung mit e=-1 gibt,

ist v1,v2,v3,v4 eine Basis und du hast schon die Darstellung

von v5 durch diese.

Comments

v1 v2 v4 sind Linear Unabhängig

v3 und v5 sind linear abhängig

Ich hatte e1=(0,1,0,0,0) und e2 =(0,0,1,0,0)

Gefunden sodass B= (v1,v2,v4,e1,e2) eine Basis für R⁵ ist. Aber Aufgabe b) habe ich nicht ganz verstanden

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v1 v2 v4 sind Linear Unabhängig Das stimmt, bilden sie auch eine Basis von V ?

v3 und v5 sind linear abhängig Das stimmt nicht, die Menge {v3 , v5} ist l.u. .
(Möglicherweise meinst du aber das Richtige)

B= (v1,v2,v4,e1,e2) eine Basis für R⁵ das stimmt zwar, ist aber überhaupt nicht gefragt.

Gefragt ist vielmehr Folgendes : Falls {v1 , v2 , v4} eine Basis von V wäre, dann sollen Koeffizienten a, b, c, d, e, f so bestimmt werden, dass v3 = a·v1+b·v2+c·v4 und v5 = d·v1+e·v2+f·v4 wird. Und dasselbe ist für alle möglichen Basen von V, die sich aus den Vektoren v1 ... v5 bilden lassen, zu machen.