Vektorraum f Verkettung soll Basis sein

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgobe
Es sei Vein Vellonawm uber sinem coirer $k$ mil dim $(V)=n \geq 2$ and $f: V \rightarrow V$. cine lin, ABe mit $f^{\circ(n-1)} \neq 0$ und $f^{\circ n}=0$ Beweisen Sic, dass es eine Bais $w_{1}, v_{n}$ fin V gibl, soldass $f\left(v_{i}\right)=0$ und $f\left(v_{i}\right)=v_{i}-1$ fin alle $2 \leq i \leq n$

Beweis:
$\begin{array}{l} f\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \\ f^{n+i}\left(v_{1}\right)=y_{k} \\ f(n)=0 \text {. } \\ f^{n n-2}\left(v_{n}\right)=V_{2} \\ f\left(v_{i}\right)=v_{i-1} \text { fin alle. } 2 \leq i \leq n \\ f^{0 n-3}\left(v_{n}\right)=v_{3} \\ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}=f^{0(n-1)}\left(v_{n}\right), f^{0(n-2)}\left(v_{n}\right), \ldots, v_{n} \end{array}$

Nach Aushuuchroí von Sfeinit nur linear Unabhaingyhaid reigen: Sei $a_{1} k_{n}+\ldots, a_{n} v_{n}=0$
$\xi: a_{1}\left(f^{\left(n^{-1}\right)}\left(V_{n}\right)\right)+a_{2}\left(f^{0\left(n_{2}\right)}\left(V_{n}\right)\right)+\ldots+a_{n} V_{n}=0 \Rightarrow a_{n}=\ldots=a_{n}=0$
madellianbuweris:
$\sum: \sum \limits_{i=1}^{\infty} f^{0(n-1)}\left(V_{n}\right) \neq Q$

IA: $j=1$ :
$f^{\circ(n-1)}\left(v_{n}\right) \neq 0 \checkmark$

IN: Bebaptrog filffic sing $j \in \mathbb{N}$.
$\begin{array}{l} \sum \limits_{i=1}^{i} f^{0(n-1)}\left(N_{n}\right) \neq 9 \end{array}$

Problem/Ansatz:

Ich habe mich hier verrannt glaube ich, kann mir wer weiterhelfen?

Comments

Du musst am Anfang zunächst die v_i definieren - unter Benutzung der Voraussetzungen

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Ok aber wie komme ich weiter bei der Rechnung?

Answer 1

Ich schreibe mal verkürzt $f^k$ für die Verkettungen von f

Nach Voraussetzung ist $f^{n-1} \neq 0$, also existiert $w \in V$ mit $f^{n-1}(w)\neq 0$. Damit definieren wir

$$v_i:=f^{n-i}(w), \quad i=1, \ldots n-1 \text{ und }v_n:=w=:f^0(w)$$

(also mit $f^0$ als Bezeichnung der Identität). Man stellt für die relevanten i fest:

$$f^i(v_i)=0 \text{ und }v_i=f \circ f^{n-(i+1)}(w)=f(v_{i+1})$$

Beleibt noch zu zeigen, dass $(v_1, \ldots, v_n)$ linear unabhängig sind: Wenn mit Skalaren $a_i$ gilt

$$\sum_{i=1}^na_i v_i=0$$

Dann folgt $0=f^{n-1}(0)=....$

Jetzt Du