Kann ich das Quotientenkriterium verwenden

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für die Folgen Konvergenz oder Divergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$$a_n=\frac{(3-n)^3}{3n^3}$$

$$b_n=\frac{4n^3-(-1)^n n^2}{5n+2n^3}$$

$$c_n= \frac{2n^2-2n}{(-1)^n 4n^2+5}$$

$$d_n=\frac{n!}{n^5}$$

$$e_n= \sqrt{n^4+an^3+2n^2}-n^2$$

Problem/Ansatz:

Kann ich die mit dem Quotientenkriterium bestimmen? Weil da ist ja kein Summenzeichen davor

Comments

Hello,

an und bn größte Potenz ausklammern.

cn: Suche dir zwei Teilfogen, die gegen zwei unterschiedliche Grenzwerte konvergieren.

dn: Schreibe Fakultät aus und Begründe, dass die Reihe divergieren muss.

en: Erweitern, sodass du dritte Binomische Formel anwenden kannst.

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Ist das dann $$n^3(\frac{1}{n^3}\frac{1}{n^2})^3/3n^3$$

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Die dritte folge konvergiert nicht! Bitte beachten

Answer 1

Hallo

Nein ! überlege wie ihr bewiesen habt, dass das Konvergenzverhalten von Reihen durch das Quotientenkriterium bestimmt sein kann.

die ersten vier : da teilt man durch die höchst vorkommende Potenz im Zähler, den im 1, Fall erst ausrechnen, dann wissen dass 1/n und 1/n^r mit r>0 eine Nullfolge ist.

en mit der Summe erweitern , dann wie die anderen

dn rechtne  das mal mit dem TR z.B für n=5 oder 10  und 20

was wächst schneller n! oder n^5 dann zeige das mit Induktion ab einem bestimmten n  gilt.

Gruß lul

Comments

Hallo lul, n! wächst schneller wie n^5

Kann ich das nicht schreiben als

$$\lim \frac{n!}{n^5} = \frac{n (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{n*n*n*n*n} \cdot (n-5)!= 1*1*1*1*1* \infty= \infty$$

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Hallo

ja das ist gut,  nur muss der lim auch nach dem ersten 0 noch stehen, und dann gegen oo nicht = oo es sei denn ihr dürft das,

und für a) ist GW=1/3 richtig.

lul

Answer 2

a) Löse die Klammer auf und kürze mit n^3.

b) Kürze mit n^3, die höchste Potenz "gewinnt"

Comments

Dann kommt bei mir bei der a) als Grenzwert 1/3 raus stimmt das?

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Fast, es ist - 1/3.

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%283-n%29%5E3%2F%283n%5E3%29

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Lieber ggT22 ich habe im letzten Schritt das Minus zum Plus gemacht. Vielen Dank

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Ich bekomme bei der b) das n^3 nicht ausgeklammert. Kann mir jemand helfen?

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Du kannst auch direkt mit n^3 kürzen.

Darauf läuft es letztlich hinaus.

(-1)^n*n^2/n^3 = (-1)^n/n und das geht gegen Null für n -> +-oo

Du musst nur die höchsten Potenz betrachten, die anderen kannst du

vernachlässigen.

Du kannst den Grenzwert hier ablesen: 4/2 =2

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Ich stehe auf dem Schlauch. Wieso kann ich einfach n^3 kürzen, da ist doch eine Summe

Ich habs :-)

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Jeden Term mit n^3 kürzen:

4n^3/n^3 = 4,

n^2/n^3 = 1/n, wird 0, (-1)^n spielt keine Rolle.

usw.

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Wie gehe ich bei c_n und e_n vor?