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Aufgabe:

Beweis der Aussage, dass die Summenfunktion der Möbius Funktion für n2 n \geq 2 immer gleich 0 ist. Die Multiplikativität der Möbius Funktion dürfen Sie dabei voraussetzen.

Problem/Ansatz:

Wie kann diese Aussage nachgewiesen werden (habe dazu nichts im Internet gefunden und habe auch keinen Ansatz).

Ich kenn sonst nur diese Aussage:

ntμ(n)=0 \sum \limits_{\mathrm{n} \mid \mathrm{t}} \mu(\mathrm{n})=0 für alle n>1 \mathrm{n}>1

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Niemand eine Idee ☺?

Habe es jetzt doch geschafft, die Aufgabe zu lösen, und zwar wie folgt:

n=1 \mathrm{n}=1 :

Sμ(1)=t1μ(t) (1 wird nur von 1 geteilt) Sμ(1)=μ(1)=1 \begin{array}{l} S_{\mu}(1)=\sum \limits_{t \mid 1} \mu(t) \text { (1 wird nur von } 1 \text { geteilt) } \\ S_{\mu}(1)=\mu(1)=1 \end{array}
n>1 : μ \mathrm{n}>1: \mu multiplikativ Sμ \Longrightarrow S_{\mu} multiplikativ, also
Sμ(n)=Sμ(p1α1prαr)=Sμ(p1α1)Sμ(prαr)=i=1rSμ(piαi). S_{\mu}(n)=S_{\mu}\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{r}^{\alpha_{r}}\right)=S_{\mu}\left(p_{1}^{\alpha_{1}}\right) \cdots S_{\mu}\left(p_{r}^{\alpha_{r}}\right)=\prod \limits_{i=1}^{r} S_{\mu}\left(p_{i}^{\alpha_{i}}\right) .
Daher auf Primzahlpotenzen beschränken. Für pP p \in \mathbb{P} und αN \alpha \in \mathbb{N} gilt aber
Sμ(pα)=tpαμ(t)=μ(1)+μ(p)+μ(p2)++μ(pα)=11+0++0=0 S_{\mu}\left(p^{\alpha}\right)=\sum \limits_{t \mid p^{\alpha}} \mu(t)=\mu(1)+\mu(p)+\mu\left(p^{2}\right)+\cdots+\mu\left(p^{\alpha}\right)=1-1+0+\cdots+0=0

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