Rekursionsgleichung durch iteratives Einsetzen lösen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgende Rekursionsgleichung durch iteratives Einsetzen. Verwenden Sie zum
Lösen der Gleichung keine Abschätzung, d.h. lösen Sie die Gleichung vollständig auf!

\( \begin{array}{l} T(0)=0 \\ T(n)=T(n-1)+n^{2} \end{array} \)

Folgende Formel dürfen Sie ohne Beweis verwenden:
\( \sum \limits_{j=0}^{n} j^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \)

Problem/Ansatz:

Guten Tag, soll die obige Aufgabe auflösen, allerdings bereitet mir das echt Probleme.

Ich habe die Zahlen 1-5 in die Gleichung mal eingesetzt und folgendes erhalten:

T(1) = 0 + 1 = 1

T(2) = 1 + 4 = 5

T(3) = 5 + 9 = 14

T(4) = 14 + 16 = 30

T(5) = 30 + 25 = 55

Allerdings weiß ich nicht so recht, in wie weit mir das weiterhilft.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Rechne mal nicht zusammen, dann hast du

T(1) = 0 + 1 = 1

T(2) = 1 + 4   = 1 + 2^2

0T(3) =  1 + 4 + 9   = 1 + 2^2 + 3^2

T(4) = 1 + 4 + 9  + 16 =0^2 +1^2 + 2^2 + 3^2+4^2

T(5) = 1 + 4 + 9  + 16  + 25 = 0^2+1^2 + 2^2 + 3^2+4^2 + 5^2 

also T(n) =\( \sum \limits_{j=0}^{n} j^{2}\)

Da hilft die Formel weiter !

Answer 2

Ich habe die Zahlen 1-5 in die Gleichung mal eingesetzt und folgendes erhalten:

Es ist nicht so klug gleich zu vereinfachen. Wie du jetzt feststellen wirst

T(0) = 0
T(n) = T(n - 1) + n^2

T(1) = T(0) + 1^2 = 0 + 1^2

T(2) = T(1) + 2^2 = 0 + 1^2 + 2^2

T(3) = T(2) + 3^2 = 0 + 1^2 + 2^2 + 3^2

T(n) = 0 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)