Satz über implizite Funktionen in mehreren Dimensionen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass das Gleichungssystem f(x,y,z)=0 in einer Umgebung des Punktes (x_0,y_0,z_0)=(8,2,0) nach (x,y) aufgelöst werden kann.

Text erkannt:

(2) $f=\left(\begin{array}{l}x \sin (z)-y+2 \\ y^{2} \cos (z)-x+4\end{array}\right)$
(3) Jakoli-Hatrix: $\left(\begin{array}{ccc}\sin (z) & -1 & x \cos (z) \\ -1 & 2 y \cos (z) & -y \sin \sin (z)\end{array}\right)$
(6) Zeigen, dass das Gleichungserystem in eiver Ungeloung des Punkses $(x, y, z, z)=(8,2,0)$ nade $(x, y)$ anfgeldst werdeu Kaun.
(i) $f(8,2,0) ! 0-f=\left(\begin{array}{c}0-2+2 \\ 4 \cdot 1-8+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \checkmark$
(ii) f reetig difflear walle partelle Adeiangen seetig $\checkmark$
(iii) $\partial x f, \partial_{y} f=0 ; \partial_{x} f=\left.\left(\begin{array}{c}\text { sunz } \\ -1\end{array}\right)\right|_{z=0}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right)$ ou der $x$-6en Kourpounte nidut ausdrick bar?

Problem/Ansatz:

Laut meiner Berechnung der partiellen Ableitung der Funktion nach x bin ich dazu gekommen, dass die Funktion nur nach y aufgelöst werden kann.

Ist dies richtig?

Danke und LG V