Alles klar vielen Dank, ich habe es nochmal probiert:
\( \begin{array}{l} \text { (a) I } x+y-\sin (z)=0 \\ \text { II } e^{x}-x-y^{3}=1 \\ \Leftrightarrow e^{x}-x-1=y^{3} \\ \Leftrightarrow y(x)=\sqrt[3]{e^{x}-x-1} \\ \Rightarrow x+\sqrt[3]{e^{x}-x-1}=\sin (z) \\ \Leftrightarrow \quad z=\sin ^{-1}\left(x+\sqrt[3]{e^{x}-x-1}\right) \\ \end{array} \)
Für \( x=0 \) erhält man:
\( \begin{array}{l} y(0)=\sqrt[3]{e^{0}-0-1}=\sqrt[3]{1-1}=\sqrt[3]{0}=0 \\ z(0)=\sin ^{-1}(0+0)=0 \end{array} \)
Die Bedingung \( y(0)=z(0)=0 \) ist also erfüllt.
Passt das nun so?
Außerdem noch eine andere Frage: in Teilaufgabe (b) sind die gegebenen Gleichungen identisch, außer dass bei Gl.2 ein z statt x im Exponenten der e-Funktion steht. Mein Lösungsansatz sieht so aus:
\( \begin{array}{l}\text { (b) Sei } F(x, \vec{y})=\binom{x+y_{1}-\sin \left(y_{2}\right)}{e^{y_{2}}-x-y_{1}^{3}-1} \text { mit } \vec{y}=\binom{y}{z}=\binom{y_{1}}{y_{2}} \text {. } \\ \frac{\partial F}{\partial \vec{y}}(x, \vec{y})=\left(\begin{array}{cc}1 & -\cos \left(y_{2}\right) \\ -3 y_{1}^{2} & e^{y_{2}}\end{array}\right) \\ \Rightarrow \operatorname{det} \frac{\partial F}{\partial \vec{y}}(0)=\left|\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right|=1 \neq 0\end{array} \)
...dann mit dem Satz der impliziten Funktion argumentieren.
Allerdings habe ich hier angenommen, dass mit dem Punkt x=0 (x,y,z)=(0,0,0) gemeint war. Ich denke mal das ist nicht der Fall. Wie geht man dann an diese Aufgabe heran?
