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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass durch die folgenden Gleichungen jeweils in einer Umgebung von \( x=0 \) zwei Funktionen \( y, z \) mit \( y(0)=z(0)=0 \) definiert werden.
(a) \( x+y-\sin (z)=0 \) und \( \mathrm{e}^{x}-x-y^{3}=1 \).


Problem/Ansatz:

Ich wollte diese Aufgabe eigentlich mithilfe des Satzes über implizite Funktionen lösen. Jedoch bekomme ich ein Problem- die Determinante der Jacobi-Matrix bzgl. y und z ist am Punkt (0,0,0) ebenfalls null. Hier müsste doch rauskommen, dass sie ungleich null ist, oder?

Ich würde mich über einen Tipp freuen.

LG

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Du kannst/ musst diese Aufgabe durch direktes rechnerisches Auflösen nach y und z lösen. Beachte, dass die zweite Gleichung nur von y abhängt und nur in einfacher Weise.

Ich habe es jetzt so probiert:

\( \begin{array}{l}\text { (a) } I x+y-\sin (z)=0 \quad \xrightarrow{x=0} \quad y-\sin (z)=0 \\ \text { II } e^{x}-x-y^{3}=1 \quad \rightarrow \quad 1-y^{3}=1 \\ \Leftrightarrow y^{3}=0 \Rightarrow y(0)=0 \\ \rightarrow \quad \sin (z)=0 \quad | \sin ^{-1} \\ z=\sin ^{-1}(0)=0 \rightarrow z(0)=0 \\\end{array} \)

Kann das stimmen? Die Aufgabe gibt 4 Punkte, und das kommt mir jetzt doch etwas wenig vor...

Du hast die Aufgabe noch nicht richtig verstanden. Es sollen Funktionen y(x),z(x) bestimmt werden, die für alle x - in einer Umgebung des Nullpunkts - die Gleichungen erfüllen, nicht nur im Nullpunkt.

Benutze - wie gesagt - das Einsetzungsverfahren: Bestimme y(x) aus der zweiten Gleichung und dann z(x) aus der ersten....

Alles klar vielen Dank, ich habe es nochmal probiert:

\( \begin{array}{l} \text { (a) I } x+y-\sin (z)=0 \\ \text { II } e^{x}-x-y^{3}=1 \\ \Leftrightarrow e^{x}-x-1=y^{3} \\ \Leftrightarrow y(x)=\sqrt[3]{e^{x}-x-1} \\ \Rightarrow x+\sqrt[3]{e^{x}-x-1}=\sin (z) \\ \Leftrightarrow \quad z=\sin ^{-1}\left(x+\sqrt[3]{e^{x}-x-1}\right) \\ \end{array} \)

Für \( x=0 \) erhält man:
\( \begin{array}{l} y(0)=\sqrt[3]{e^{0}-0-1}=\sqrt[3]{1-1}=\sqrt[3]{0}=0 \\ z(0)=\sin ^{-1}(0+0)=0 \end{array} \)

Die Bedingung \( y(0)=z(0)=0 \) ist also erfüllt.

Passt das nun so?


Außerdem noch eine andere Frage: in Teilaufgabe (b) sind die gegebenen Gleichungen identisch, außer dass bei Gl.2 ein z statt x im Exponenten der e-Funktion steht. Mein Lösungsansatz sieht so aus:

\( \begin{array}{l}\text { (b) Sei } F(x, \vec{y})=\binom{x+y_{1}-\sin \left(y_{2}\right)}{e^{y_{2}}-x-y_{1}^{3}-1} \text { mit } \vec{y}=\binom{y}{z}=\binom{y_{1}}{y_{2}} \text {. } \\ \frac{\partial F}{\partial \vec{y}}(x, \vec{y})=\left(\begin{array}{cc}1 & -\cos \left(y_{2}\right) \\ -3 y_{1}^{2} & e^{y_{2}}\end{array}\right) \\ \Rightarrow \operatorname{det} \frac{\partial F}{\partial \vec{y}}(0)=\left|\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right|=1 \neq 0\end{array} \)

...dann mit dem Satz der impliziten Funktion argumentieren.

Allerdings habe ich hier angenommen, dass mit dem Punkt x=0 (x,y,z)=(0,0,0) gemeint war. Ich denke mal das ist nicht der Fall. Wie geht man dann an diese Aufgabe heran?

Das ist alles richtig.

Deine letzte Frage ist mit nicht ganz klar. Jedenfalls sind die Bedingungen an der Stelle x=0, y=0,z=0 zu prüfen.

Super, danke :)

Naja, ich habe ja die Determinante an der Stelle (y,z)=(0,0) untersucht und war mir nicht ganz sicher, ob das hier so gemeint war (da ja nur x=0 in der Aufgabenstellung gegeben ist).

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