Maxima und Minima von Ellipse um Ursprung suchen

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen sind jene Punkte der Ellipse, die zum Ursprung maximalen oder minimalen Abstand haben.

2x^2-3*x*y+2y^2=7

Problem/Ansatz:

Leider bin ich mir gar nicht sicher, wie ich durch eine weitere Gleichung die Minima/Maxima beschreiben könnte.

Was mir eingefallen ist: für die nächste Punkte im Ursprung solle die Gleichung x^2+y^2=sqrt(7/2) erfüllt sein, da:

Text erkannt:

(3) \( 2 x^{2}-3 x y+2 y^{2}=7 \)
\( x^{2}-\frac{3}{2} x y+y^{2}=\frac{7}{2} \)

Vieln Dank für Eure Tipps!

LG V

Comments

In welchem Kontext hast du die Aufgabe bekommen?
Ein recht schneller weg läuft über die Hauptachsentransformation.

Answer 1

Mit Polarkoordinaten geht es fix.

\(x=r\cos t,\; y = r \sin t\)

Wir suchen Extrema von \(\sqrt{x^2+y^2} = r\) unter der Nebenbedingung$$2r^2\cos^2t - 3r^2\cos t\sin t + 2r^2\sin^2 t = 7$$$$\Leftrightarrow r^2 = \frac 7{2-\frac 32 \sin 2t}$$Es folgt $$r_{max}= \sqrt{14} \text { für } t= \frac 14 \pi,\; t = \frac 54 \pi$$$$r_{min}= \sqrt{2} \text { für } t= \frac 34 \pi,\; t = \frac 74 \pi$$Einsetzen in \(x=r\cos t,\; y = r \sin t\):$$r_{max} = \sqrt{14}\text{ bei } (\sqrt 7 , \sqrt 7) \text{ und } (-\sqrt 7 , -\sqrt 7)$$$$r_{min} = \sqrt{2} \text{ bei } (1 , -1) \text{ und } (-1 ,1)$$

Answer 2

Hallo,

Leider bin ich mir gar nicht sicher, wie ich durch eine weitere Gleichung die Minima/Maxima beschreiben könnte.

Der Abstand \(d\) zum Ursprung soll minimiert bzw. maximiert werden. Und der ist ganz profan$$d(x,y)=x^2+y^2$$Die Ellipse ist die Nebenbedingung:$$x^{2}-3 x y+2 y^{2} = 7$$Bei sowas bietet sich auch der Lagrange-Multiplikator an. Man stelle die Lagrange-Gleichung auf:$$d(x,y)=x^2+y^2 \to\min/\max \quad \text{NB.:}\space2 x^{2}-3 x y+2 y^{2}-7 = 0 \\ L(x,y,\lambda) = x^2+y^2 + \lambda(2x^{2}-3 x y+2 y^{2} - 7) $$Ableiten, zu Null setzen und zusammen fassen:$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda(4x-3y) \to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} =  2y +\lambda(-3x+4y)\to 0 \\ \begin{aligned} \implies 2x(-3x+4y)&= 2y(4x-3y) \\ -3x^2 + 4xy &= 4xy - 3y^2 \\ -3x^2 &= - 3y^2 \\ x^2 &= y^2 \\ \end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung $$\begin{aligned}2x^{2}- \pm3x^2+2 x^{2}-7 &= 0 \\ (4\mp 3)x^2 &= 7\end{aligned}$$liefert vier Lösungen \(x_{1,2}\pm 1\), \(x_{3,4}=\pm\sqrt{7}\) (s.Bild). Was Minimum und was Maximum ist, kann man der Anschauung oder einer Berechnung von \(d\) entnehmen.

Die gestrichelten Geraden stehen für \(x^2=y^2\).

Gruß Werner

Comments

Hallo,

Vielen Dank für deine Antwort. Wieso ist die Ellipse die Nebenbedingung? Sollte nicht die NB die Kreisgleichung sein?

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Wieso ist die Ellipse die Nebenbedingung? Sollte nicht die NB die Kreisgleichung sein?

Die Hauptbedingung - auch Gütekriterium - ist das, was minimiert bzw. maximiert werden soll. Und das ist in diesem Fall eindeutig die Entfernung zum Ursprung:

Zu bestimmen sind jene Punkte ..., die zum Ursprung maximalen oder minimalen Abstand haben

So ein Punkt - mit seiner X- und Y.Koordinate kann jetzt aber nicht vogelwild in der Ebeen liegen, sondern ...

... jene Punkte der Ellipse, die ...

Die Punkte müssen also noch auf der gegebenen Ellipse liegen. Das ist die Nebenbedingung.

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Danke.

Noch eine Frage: da x= +- y, komme ich auf 8 verschiedene Stellen, die dies erfüllen - diese müssen aber alle auf der Ellipse liegen, also ich muss jeden de Punkte in die Ellipsengleichung einsetzen, richtig?

Text erkannt:

Wegen \( x^{2}=y^{2} \) :
\( x= \pm y \quad \) Möglidue
Extrema:
\( (\sqrt{7}, \sqrt{7}) \&(\sqrt{7},-\sqrt{7}) \)
\( (-\sqrt{7}, \sqrt{7}) \&(-\sqrt{7},-\sqrt{7}) \)
\( (1,-1) \&(1,1) \)
\( (-1,1) \&(-1,-1) \)

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da x= +- y, komme ich auf 8 verschiedene Stellen, die dies erfüllen

Noch nicht. Mit \(x^2=y^2\) gibt es zunächst nur zwei Möglichkeiten

1.) \(x=y\)  und 2.) \(x=-y\)

Und dies gilt es, in die Nebenbedingung einzusetzen - bildlich gesprochen: sie müssen auf der Ellipse liegen. Das führt zu zwei Gleichungen$$x^2 = 7 \quad \text{für}\space x=y \implies x=y=\pm\sqrt{7}\\ 7x^2 = 7 \quad \text{für}\space x=-y \implies x=-y = \pm 1$$Die jeweils wieder zwei Lösungen liefern - also in Summe vier Lösungen. Mehr nicht!

Und damit ist man fertig.

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Man kommt bei der Aufgabe ganz ohne Differentialrechnung aus, wenn man diejenigen Kreise sucht, deren Radien d (d steht für Distanz zum Ursprung) zu genau zwei gemeinsamen Punkten mit der Ellipse führen.

 

Das geschieht durch Benutzen der Kreis- und der Ellipsengleichung, Auflösen nach x, Nullsetzen der Diskriminante, Berechnen von d sowie x und y.

Answer 3

Mit der Lagrange-Methode:

Maximiere/Minimiere \(f(x,y)=x^2+y^2\)  unter der

Nebenbedingung \(h(x,y)=2x^2-3xy+2y^2-7=0\).

Lagrange liefert

\(\nabla f=\lambda\nabla h\), d.h.

\((2x,2y)=\lambda(4x-3y, 4y-3x)\). Das führt zu

\(\frac{4x-3y}{4y-3x}=\frac{x}{y}\) und damit zu

\(4xy-3y^2=4xy-3x^2\), was bedeutet: \(x=\pm y\).

Die Nebenbedingung ergibt dann \(x=\pm 1\) oder \(x=\pm \sqrt{7}\) ...