Lineare Abbildungen: Basen für ℝ³ und ℝ⁴ finden, die eine gegebene Matrixstruktur erfüllen

Question

AUFGABE
Sei
$A:=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{array}\right)$
und $f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ die durch $f(x)=A x$ gegebene lineare Abbildung. Bestimmen Sie Basen $\mathfrak{A}$ von $\mathbb{R}^{4}$ und $\mathfrak{B}$ von $\mathbb{R}^{3}$ mit
$\mathcal{M}_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}(f)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) .$

Mein ANSATZ für diese Aufgabe ist:
1. Zuerst berechne ich die reduzierte Zeilenstufenform (RZF) der Matrix A. Dies gibt uns Hinweise auf die Basisvektoren für den Bildraum von $\mathrm{f}$.
2. Dann benutze ich die RZF von $A$, um die Basis für den Bildraum von f, also die Basis für $\mathbb{R}^{3}$, zu finden. Diese Basis bildet den Basisvektorsatz $\mathfrak{B}$ für $\mathbb{R}^{3}$.
3. Um die Basis für $\mathbb{R}^{4}$ zu finden, betrachte ich die Matrix der linearen Abbildung $\mathrm{f}$ in der gegebenen Form:
$\mathcal{M}_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}(f)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Da wir bereits $\mathfrak{B}$ kennen, konzentrieren wir uns auf die Suche nach einer Basis $\mathfrak{A}$ für $\mathbb{R}^{4}$.
4. Um die Basis $\mathfrak{\mathcal { A }}$ für $\mathbb{R}^{4}$ zu finden, suchen wir vier linear unabhängige Vektoren, die die gegebene Matrixstruktur für die Abbildung f erfüllen. Dabei müssen wir sicherstellen, dass die ersten beiden Vektoren im Bildraum von A sind und die letzten beiden Vektoren im Kern von A liegen.
5. Sobald wir die Basis $\mathfrak{A}$ für $\mathbb{R}^{4}$ gefunden haben, haben wir die gewünschten Basen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ für diese Aufgabe bestimmt.