Binomialkoeffizient Definition anwenden

Question

Aufgabe:

Zeige durch Anwenden und umformen der Definition $$\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

dass gilt $$\binom{n+1}{k}= \binom{n}{k-1}+ \binom{n}{k}$$

Problem/Ansatz:

$$\binom{n+1}{k}= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}$$

$$\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}= \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}+ \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Weiter komme ich nicht. Meine Idee war es einen gemeinsamen Hauptnenner zu finden und dass dann umzuformen aber ich schaffe es nicht

Answer 1

Aloha :)

$$\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)!\cdot(\pink{n-(k-1)})!}+\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot\green k}{(k-1)!\cdot\green k\cdot(\pink{(n+1)-k})!}+\frac{n!\cdot{\color{blue}(n+1-k)}}{k!\cdot(n-k)!\cdot{\color{blue}(n+1-k)}}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot\green k}{\underbrace{(k-1)!\cdot\green k}_{=k!}\cdot(\pink{(n+1)-k})!}+\frac{n!\cdot{\color{blue}((n+1)-k)}}{k!\cdot\underbrace{(n-k)!\cdot{\color{blue}((n+1)-k)}}_{=((n+1)-k)!}}$$$$\qquad=\frac{{\color{red}n!\cdot k}}{k!\cdot((n+1)-k)!}+\frac{\overbrace{n!\cdot(n+1)}^{=(n+1)!}-\color{red}n!\cdot k}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}$$

Answer 2

$$\begin{pmatrix} n + 1\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n\\k - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n + 1 - k)!} = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - (k - 1))!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot k}{k! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n! \cdot (n - k + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot k + n! \cdot (n - k + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot (k + (n - k + 1))}{k! \cdot (n - k + 1)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot (n + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!}$$