Muss ich das mit dem Quotientenkriterium lösen?

Question

Aufgabe:

Prüfe auf gewöhnliche und absolute Konvergenz

1.$$\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{k^4+17}{5k^4+k})^k$$

2. $$\sum_{k=1}^{\infty}((1+\frac{1}{2k})^k-5/4)^k$$

3. $$\sum_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k-1}(\sqrt{k^2-1}-k))$$
Problem/Ansatz:

1.Muss ich das mit dem Quotientenkriterium lösen? Wenn ja, was mache ich mit dem k im Exponenten?

2. Was muss ich hier tun

3. Wie geht das

Comments

Mach mal eine Aussage zum Zusammenhang der Parameter \(i\) und \(k\).

(Alle Reihen haben einen Laufindex \(i\), der in keinem Reihenterm vorkommt!)

---

Danke für den Hinweis ich habe es geändert

---

Kennst du das Wurzelkriterium? Und das Leibniz-Kriterium?

---

Ich kenne die beiden weiß aber nicht wie ich sie anwenden soll

---

1. k-te Wurzel ziehen

---

Ich kenne die beiden weiß aber nicht wie ich sie anwenden soll

1. Was die die k-te Wurzel von |a_k|?

(k^4+17)/(5k^4+k)

Jetzt kommt der Standardtrick bei so gebrochenrationalen Funktionen. Kürze mit der höchsten gemeinsamen Potenz:

(1 + 17/k^4)/(5+1/k^3)

Da das konvergiert ist limsup = lim, also bestimme den Grenzwert für k→∞

2. Was ist die k-te Wurzel von |a_k|?

| (1 + 0.5/k)^k - 5/4 |

Jetzt muss man die Darstellung der Exponentialfkt als Limes kennen + dass die Betragsfunktion stetig ist. Bestimme So den Limes für k→∞.

3. (-1)^k * ( k - √( k²- 1) )

Weise nach, dass ( k - √( k²- 1) )>0 eine monoton fallende Nullfolge ist. Konvergenz folgt dann mit Leibniz.

Absolute Konvergenz kannst du mit dem Minorantenkriterium verneinen:

Zeige dafür k-√( k²- 1) ≥ 1/(2k)

---

$$\lim_{k \rightarrow \infty} |a_k|=lim_{k \rightarrow \infty}|\sqrt[k]{\frac{k^4+17}{5k^4+k})^k}= \lim_{k \rightarrow \infty}|\frac{k^4+17}{5k^4+k}|= \lim|(\frac{1+17/k^4}{5+1/k^3})= 1/5$$

Wolframalpha sagt aber, dass der GRenzwert 0 wäre

Was habe ich falsch gemacht?

---

Kann ich dir nicht sagen. Eventuell vertippt. Dein Ergebnis stimmt so.

---

Falls das richtig ist (ich habe es nicht nachgerechnet) hast du bis jetzt nur gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Mehr war auch nicht gefordert, insbesondere fordert die Aufgabenstellung ja nicht, den Reihenwert zu bestimmen. Das kannst du natürlich trotzdem machen. Was du bei WolframAlpha gemacht hast, weiß ich nicht.

Answer 1

3. Erweitern zur 3. binomischen Formel.