Beweisen Sie durch Anwenden und Umformen der Definition ...

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie durch Anwenden und Umformen der Definition

$$\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} \text { für } n, k \in \mathbb{N} \text { und } k \leq n$$
die folgenden Eigenschaften des Binomialkoeffizienten:

a) $\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)$ (Symmetrie)

b) $\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ n-1\end{array}\right)=n,$ falls $n \geq 1$ (Randwerte)

c) $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)$ für $1 \leq k \leq n$ (Rekursionsformel)

und veranschaulichen Sie jede dieser Eigenschaften im Pascal'schen Dreieck, dessen Einträge natürliche Zahlen sind.

Unten sehen Sie zwei Darstellungen des Pascal'schen Dreiecks links mit Binomialkoeffixienten, rechts mit arabischen Ziffern.

Answer 1

Hallo

wo treten denn deine Schwierigkeiten auf, du musst doch nur jeweils die Definition durch die Fakultäten einsetzen und ausrechnen, das ist wirklich einfach!

und wie das Pascalsche Dreieck konstruiert bzw. aufgebaut ist weisst du auch, oder siehst es

Gruß lul

Comments

Hallo, wie der Beweis funktioniert habe ich bereits herausgefunden, doch wie stellt man dies nun in einem Pascalschen Dreieck dar?

Ich wäre dankbar, wenn ich einen Tipp bekommen würde :)

LG

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Hallo

 du musst doch nur nacheinander sagen, dass die 12 te Zahl in der Zeile gleich der Zeilemnimmer ist b)

dass jede Zeile symmetrisch zur Mitte ist a)

und  die folgende Zeile jeweils die Summe der darüber stehenden Zahlen ist, c)

Gruß lul