Sei K ein Körper. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über K

Question

Sei $K$ ein Körper. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über $K$

(a) für $K=\mathbb{F}_{3}$ :
$\begin{array}{l} {[2] x+y=[0]} \\ x+[2] y=[1] \end{array}$

(b) für $K=\mathbb{F}_{2}$ :
$\begin{array}{l} x+z=[1] \\ x+y=[1] \\ y+z=[0] . \end{array}$

Comments

Wo liegen deine Probleme?

$$\left( \begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}~\middle|~\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix}2&1\\2&1\end{matrix}~\middle|~\begin{matrix} 0\\2\end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix}2&1\\0&0\end{matrix}~\middle|~\begin{matrix} 0\\2\end{matrix}\right)$$

1. Schritt: 2. Zeile mal 2≠0. Beachte, dass in $\mathbb F_3$ $2\cdot 2 =4=1$ ist
2. Schritt: 1. Zeile von 2. Zeile abziehen

Rankriterium Rang(A) = 1 < 2 = Rang(A|b) => es gibt keine Lösungen.

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Kannst du mir bei der b) auch helfen?

Answer 1

Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen.

Aufpassen musst du lediglich darauf, dass du nicht aus Versehen eine Gleichung mit 0 (d.h. dem neutralen Element der Addition) multiplizierst oder durch 0 teilst.

(a) für $K=\mathbb{F}_{3}$:

Es ist $0 = [0] = [3] = [6] = \dots$.

Beispiel.

        $\begin{aligned}[2] x+y&=[0] \\ x+[2] y&=[1] \end{aligned}$

Subtraktion des doppelten der zweiten Gleichung von der ersten Gleichung liefert

      $\begin{aligned}[2-2\cdot 1] x+[1-2\cdot 2]y&=[0-2\cdot 1] \\ x+[2] y&=[1] \end{aligned}$

Was zu

      $\begin{aligned}[0] x+[-3]y&=[-2] \\ x+[2] y&=[1] \end{aligned}$

ausgerechnet und weiter zu

      $\begin{aligned}[0]&=[1] \\ x+[2] y&=[1] \end{aligned}$

vereinfacht werden kann.

Comments

Kannst du mir bei der b) auch helfen?

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Halloo???

Kannst du mir bei der b) auch helfen?

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Die b) wird nach dem gleichen Prinzip wie die a) gelöst.