Zeigen Sie, dass A × [0, L] eine Nullmenge in Rn+1 ist.

Question

Aufgabe:

(a) Es seien A eine Nullmenge in Rⁿ und L > 0. Zeigen Sie, dass A × [0, L] eine Nullmenge in Rⁿ+1 ist.

(b) Zeigen Sie, dass Rⁿ × {0} eine Nullmenge in Rⁿ+1 ist.

Problem/Ansatz:

Hat hierzu jemand auch einen Ansatz dafür ?

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass es sich hier um das Lebesgue-Maß handelt.

(a)

$\lambda_n$ und $\lambda_{n+1}$ bezeichnen das $n$- bzw. $(n+1)$-dimensionale Lebesgue-Maß .

$A$ ist Nullmenge, also gibt es zu $\epsilon>0$ eine Folge von n-dimensionalen Quadern $Q_k \subset \mathbb R^n$, so dass

$A \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k$  und $\lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <\epsilon$

Nun sind $Q_k^L = Q_k \times [0,L]\: (n+1)$-dimensionale Quader mit

$\lambda_{n+1}(Q_k^L) = L\cdot \lambda_n(Q_k )$.

Außerdem ist

$A\times L \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L = \left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k\right) \times L$

Damit gilt

$\lambda_{n+1}\left(A\times L\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L\right) = L\cdot \lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <L\cdot \epsilon$

Also ist $A\times [0,L]$ eine $\lambda_{n+1}$-Nullmenge.

(b)

$\mathbb R^n$ kann mit abzählbar vielen Einheitsquadern $Q_k,\: k\in\mathbb N$ überdeckt werden.

Betrachte nun $Q_k^\epsilon = Q_k \times \left[0, \frac\epsilon{2^k}\right]$.

Offenbar ist

$\mathbb R^n \times\{0\} \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon$

Daraus folgt:

$\lambda_{n+1}\left(\mathbb R^n \times\{0\}\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon\right) \leq \epsilon\sum_{k\in\mathbb N}\frac 1{2^k}=\epsilon$

Comments

Vielen, Vielen lieben Dank. Ist korrekt, hätte ich mit erwähnen sollen für Lebesgue-Maß