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Aufgabe:

(a) Es seien A eine Nullmenge in Rn und L > 0. Zeigen Sie, dass A × [0, L] eine Nullmenge in Rn+1 ist.

(b) Zeigen Sie, dass Rn × {0} eine Nullmenge in Rn+1 ist.

Problem/Ansatz:

Hat hierzu jemand auch einen Ansatz dafür ?

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Ich gehe mal davon aus, dass es sich hier um das Lebesgue-Maß handelt.

(a)

λn\lambda_n und λn+1\lambda_{n+1} bezeichnen das nn- bzw. (n+1)(n+1)-dimensionale Lebesgue-Maß .

AA ist Nullmenge, also gibt es zu ϵ>0\epsilon>0 eine Folge von n-dimensionalen Quadern QkRnQ_k \subset \mathbb R^n, so dass

AkNQkA \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k   und λn(kNQk)<ϵ\lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <\epsilon


Nun sind QkL=Qk×[0,L](n+1)Q_k^L = Q_k \times [0,L]\: (n+1)-dimensionale Quader mit

λn+1(QkL)=Lλn(Qk)\lambda_{n+1}(Q_k^L) = L\cdot \lambda_n(Q_k ).


Außerdem ist

A×LkNQkL=(kNQk)×LA\times L \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L = \left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k\right) \times L


Damit gilt

λn+1(A×L)λn+1(kNQkL)=Lλn(kNQk)<Lϵ\lambda_{n+1}\left(A\times L\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L\right) = L\cdot \lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <L\cdot \epsilon

Also ist A×[0,L]A\times [0,L] eine λn+1\lambda_{n+1}-Nullmenge.


(b)

Rn\mathbb R^n kann mit abzählbar vielen Einheitsquadern Qk,kNQ_k,\: k\in\mathbb N überdeckt werden.

Betrachte nun Qkϵ=Qk×[0,ϵ2k]Q_k^\epsilon = Q_k \times \left[0, \frac\epsilon{2^k}\right].

Offenbar ist

Rn×{0}kNQkϵ\mathbb R^n \times\{0\} \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon

Daraus folgt:

λn+1(Rn×{0})λn+1(kNQkϵ)ϵkN12k=ϵ\lambda_{n+1}\left(\mathbb R^n \times\{0\}\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon\right) \leq \epsilon\sum_{k\in\mathbb N}\frac 1{2^k}=\epsilon

Avatar von 12 k

Vielen, Vielen lieben Dank. Ist korrekt, hätte ich mit erwähnen sollen für Lebesgue-Maß

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