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Aufgabe:

gegeben sind die Funktionen p mit p(x) = -x2+a; aER und q mit q(x)= (8x-2)2, wobei D(p)= D(q)=R gilt. Bestimmen sie die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen in Abhängigkeit von a. Führen Sie hierzu eine Fallunterscheidung bezüglich a durch.


Problem/Ansatz:

Ich habe beide Funktionen gleichgesetzt und dann =0 und dann die Mitternachtsformel:

-x2+a=x2-4x+4

-2x2+4x+4+a=0

MNF-> x1=2,73 und x2=-0,73

Stimmt das? und wie geht es weiter? Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße

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Die Gleichung passt nicht zu den beiden Funktionen.

2 Antworten

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Sollen die Graphen von pap_a und qq genau einen gemeinsamen Punkt besitzen, so müssen sie sich berühren, das heißt, die Funktionswerte müssen übereinstimmen und die Werte der beiden Ableitungsfunktionen müssen auch gleich sein. Wir betrachten zunächst die Gleichung pa(x)=q(x).p'_a(x)=q'(x). Die von aa unabhängige Lösung x=1665x=\dfrac{16}{65} ist die einzig mögliche Berührstelle der beiden Graphen. Die Gleichung pa(1665)=q(1665)p_a\left(\dfrac{16}{65}\right)=q\left(\dfrac{16}{65}\right) liefert das dazu passende, eindeutige a1a_1, für das die beiden Graphen genau einen Schnittpunkt besitzen.

Mit größer werdendem aa wandert pap_a nach oben und es gibt immer zwei gemeinsame Punkte der beiden Graphen.

Wird a jedoch kleiner, haben die beiden Graphen keine gemeinsamen Punkte mehr.

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q(x) = p(x)

(8·x - 2)2 = - x2 + a

64·x2 - 32·x + 4 = - x2 + a

65·x2 - 32·x + 4 - a = 0

Diskriminante der abc-Formel

D = b2 - 4·a·c <-- Achtung. Das a hier ist ein anderes wie das gleich eingesetzte.

D = (- 32)2 - 4·65·(4 - a) = 260·a - 16 = 0 → a = 4/65

Keinen Schnittpunkt für D < 0: a < 4/65

Genau einen Schnitt bzw. Berührpunkt für D = 0: a = 4/65

Zwei Schnittpunkt für D > 0: a > 4/65

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