Aufgabe:
In (a) und (b) ist je ein Glücksrad definiert, bei dem sowohl innen als auch außen
ein Ergebnis abgelesen werden kann. Die Zufallsvariable zum äußeren Ergebnis bezeichnen
wir mit X und die zum inneren Ergebnis mit Y . Beantworten Sie je mit Begründung die
Frage, ob X und Y unabhängig sind und berechnen Sie E(X · Y ) und V (X · Y ).
Problem/Ansatz:
a)
Die Zufallsvariablen sind nicht unabhängig, denn es gilt z.B.
P(X = 0, Y = 10) = \( \frac{1}{2} \) ≠ \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{1}{2} \) · \( \frac{1}{2} \) = P(X = 0) · P(Y = 10).
E(X·Y ) = 0 · 0 · P(X = 0, Y = 0) + 0 · 10 · P(X = 0, Y = 10) +20 · 0 · P(X = 20, Y = 0) + 20 · 10 · P(X = 20, Y = 10)
= 0 · 0 · 0 + 0 · 10 · \( \frac{1}{2} \) + 20 · 0 · \( \frac{1}{2} \) + 20 · 10 · 0 = 0
b)
Die beiden Zufallsvariablen sind unabhängig, denn es gilt für alle k ∈
W(X) und alle j ∈ W(Y )
P(X = k, Y = j) = \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{1}{2} \) · \( \frac{1}{2} \) = P(X = k) · P(Y = j).
E(X·Y ) = 50 · 2 · P(X = 50, Y = 2) + 50 · 10 · P(X = 50, Y = 10) +100 · 2 · P(X = 100, Y = 2) + 100 · 10 · P(X = 100, Y = 10)
= 50 · 2 · \( \frac{1}{4} \) + 50 · 10 · \( \frac{1}{4} \) + 100 · 2 · \( \frac{1}{4} \) + 100 · 10 · \( \frac{1}{4} \)
= 25 + 125 + 50 + 250 = 450
Ist das so richtig?
Ich tue mich irgendwie schwer hier die Varianz auszurechnen
